Mise en équation

• Problème : Un père a le triple de l’âge de sa fille. Dans 10 ans il en aura le double. Quel est l’âge des deux ?
• Première étape : on peut choisir par exemple comme inconnue x l’âge de la fille.
• Deuxième étape (mise en équation) : on exprime toutes les données du problème en fonction de x. L’âge actuel du père est 3x, son âge dans 10 ans est 3x+10, l’âge de la fille dans 10 ans est x+10. Donc on a l’équation 3x+10= 2(x+10).
• Troisième étape : on résout cette équation en utilisant le calcul algébrique. On a 3x-2x= 20-10, soit x= 10.
• Quatrième étape : on vérifie que la valeur trouvée donne la solution au problème, la fille a 10 ans et le père 30.

Remarque : on aurait pu choisir comme inconnue à la première étape l’âge du père, ou bien choisir deux inconnues (âge du père et âge de la fille). Les équations intermédiaires sont éventuellement différentes, mais le résultat final est inchangé.

• Problème : On donne des points distincts A, B, C, D, E, tels que ABCD soit un carré, ABE soit un triangle rectangle en A et que la longueur AE soit de 3 cm. Quelle doit être la longueur du côté du carré ABCD pour que l’aire du carré et l’aire du triangle soient égales[2] ?

• Première étape : on peut choisir par exemple comme inconnue x la mesure en cm du côté du carré.

• Deuxième étape : on met en équation en exprimant les données du problème en fonction de x. L’aire du carré ABCD est x² et l’aire du triangle ABE est (x.3)/2. Le problème devient alors de trouver x tel que ces deux aires soient égales, ou encore que x vérifie l’équation x²-1,5 x =0.

• Troisième étape : on résout l’équation en utilisant le calcul algébrique standard, on trouve deux valeurs possibles x=0 ou x=1,5.

• Quatrième étape : on revient à la formulation initiale pour vérifier si les valeurs trouvées sont des solutions du problème de départ. La solution x=0 ne convient pas, car alors le carré ABCD se réduirait à un seul point, la solution du problème est la valeur 1,5.

• Problème : Un mélange, dont on connait la masse m, est composé de deux constituants. Connaissant le prix P du mélange global ainsi que le prix par unité de masse de chacun des constituants, peut-on déterminer les quantités de chacun des constituants entrant dans la composition du mélange ?
• Première étape : on choisit comme inconnues x et y les quantités cherchées de chaque constituant, exprimées en unité de masse.
• Deuxième étape : en appelant ${\displaystyle P_{1}}$ et ${\displaystyle P_{2}}$ les prix unitaires constants de chaque constituant, on met en équation le problème :

— la somme x + y exprime la masse m du mélange.

— la somme des produits ${\displaystyle xP_{1}+yP_{2}}$ exprime le prix P du mélange global.

On obtient donc un système de deux équations du 1^er degré à deux inconnues, avec paramètres.

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x+y=m\\xP_{1}+yP_{2}=P\end{matrix}}\right.}$

• Troisième et quatrième étapes : ce système de deux équations à deux inconnues pourra alors être traité comme un problème d'algèbre élémentaire, et les valeurs trouvées (selon les paramètres${\displaystyle P_{1}}$ et ${\displaystyle P_{2}}$) vérifiées.

Problème : Optimiser les dimensions d'un bac parallélépipédique réalisé à partir d'un flan rectangulaire dont on connaît la longueur et la largeur. Pour réaliser un tel bac il faudra donc découper dans chaque coin du flan un carré dont la longueur du côté correspondra à la hauteur du bac.

Première étape : on choisit l’inconnue x comme représentant la hauteur du bac.

Deuxième étape (mise en équation) : avec a = la longueur du flan et b = la largeur du flan, l'équation du volume du bac, en fonction de x, est donnée par la formule

Flan à optimiser

${\displaystyle V(x)=(a-2x)(b-2x)x}$.

Soit

${\displaystyle V(x)=4x^{3}-2(a+b)x^{2}+abx}$.

Troisième étape : le problème est traité à l'aide des outils mathématiques appropriés.

Le volume atteint un optimum local lorsque la dérivée ${\displaystyle V'(x)}$ s'annule et change de signe :

${\displaystyle V'(x)=3x^{2}-(a+b)x+{\frac {1}{4}}ab=0}$

Cette dérivée est une équation du second degré. Ses racines sont :

${\displaystyle x_{1}={\frac {a+b+{\sqrt {a^{2}-ab+b^{2}}}}{6}}\quad {\text{et}}\quad x_{2}={\frac {a+b-{\sqrt {a^{2}-ab+b^{2}}}}{6}}}$.

La hauteur optimale du bac est l'une des deux valeurs

${\displaystyle x_{1}\quad {\text{ou}}\quad x_{2}.}$

Quatrième étape: on peut alors vérifier si ces valeurs conviennent.

Cette courbe, appelée aussi courbe de poursuite est celle décrite par un chien qui cherche à rattraper son maître en dirigeant à tout instant sa trajectoire vers lui. La mise en équation de ce problème aboutit à une équation différentielle du second ordre. Contrairement aux exemples 1 à 4, le résultat ne s'exprime pas sous la forme de nombres mais d'une équation de trajectoire.

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