Matrice des degrés

Étant donné un graphe ${\displaystyle G=(V,E)}$ contenant ${\displaystyle n}$ sommets, la matrice des degrés ${\displaystyle D}$ de ${\displaystyle G}$ est la matrice carrée ${\displaystyle n\times n}$ définie par : ${\displaystyle d_{i,j}:=\left\{{\begin{matrix}\deg(v_{i})&{\mbox{si}}\ i=j\\0&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.}$

Le degré du sommet est le nombre de liens (arêtes ou arcs) aboutissant à ce sommet. Cela entraîne que chaque boucle compte pour 2 : en effet, chaque lien a deux extrémités et chacune de ces deux extrémités augmente le degré. De la même façon, les sommets isolés ont un degré égal à 0.

Dans le cas d'un graphe orienté, le degré d'un sommet est la somme de son degré entrant et de son degré sortant[1].

Graphe étiqueté	Matrice des degrés
	${\displaystyle {\begin{pmatrix}4&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&2&0&0&0\\0&0&0&3&0&0\\0&0&0&0&3&0\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

On remarque que le degré du sommet 1 vaut 4 : 2 pour les deux sommets adjacents 2 et 5 et 2 pour la boucle qui part de 1 et y revient.

• La matrice des degrés d'un graphe régulier de degré ${\displaystyle k}$ a une diagonale dont les coefficients valent tous ${\displaystyle k}$.

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