Matrice de Householder

En algèbre linéaire, la matrice de Householder associée à un vecteur non nul $v\in \mathbb {R} ^{n}$ est la matrice définie par :

H_{v}=I_{n}-2{\frac {vv^{T}}{\|v\|^{2}}}

où $I n$ est la matrice identité de taille $n$ .

Dans la suite, $\forall x,y\in {R}^{n},x\cdot y=\langle x\cdot y\rangle$ , le produit scalaire euclidien.

Propriétés

$H_{v}$ est symétrique et orthogonale (donc involutive).

Démonstration

$\mathbb {R} ^{n}$ étant muni de sa structure euclidienne canonique et $u$ désignant le vecteur unitaire ${\frac {v}{\|v\|}}$ , on a, pour tout vecteur $x$ ,

H_{v}(x)=x-2(u\cdot x)u~.

$H_{v}$ est donc la matrice, dans la base canonique, de la réflexion par rapport à l'hyperplan orthogonal à $v$ . En particulier, c'est la matrice d'une symétrie orthogonale :

H_{v}=H_{v}^{-1}=H_{v}^{T}

.

Ainsi, $H v$ est la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à l'hyperplan orthogonal au vecteur $v$ .

Si $v=a-b\neq 0$ avec $\|b\|=\|a\|$ alors $H_{v}(a)=b$ . C'est sur cette propriété que se fondent toutes les applications des matrices de Householder (matrice de Hessenberg, tridiagonalisation ou décomposition QR).

Démonstration

$\|v\|^{2}=\|a\|^{2}-2a\cdot b+\|b\|^{2}=2(\|a\|^{2}-a\cdot b)=2v\cdot a~,$ donc

H_{v}(a)=a-2{\frac {v\cdot a}{\|v\|^{2}}}v=a-v=b~.

Applications

Les matrices de Householder sont utilisées pour des algorithmes de factorisation de matrices, comme la factorisation QR.

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Householder Matrix », sur MathWorld

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