Machine synchrone

• Toutes les grandeurs statoriques sont repérées soit par l'indice _S soit par des indices en majuscules.
• Toutes les grandeurs rotoriques sont repérées soit par l'indice _r soit par des indices en minuscules.

L'angle ${\displaystyle \theta (t)=\Omega _{m}.t\,}$ correspond au décalage angulaire entre le stator et le rotor.

• ${\displaystyle L_{S};L_{r}\,}$ : Inductances propres d'un enroulement du stator ; d'un enroulement du rotor.
• ${\displaystyle M_{S}\,}$ : Inductance mutuelle entre deux enroulements du stator.
• ${\displaystyle M_{rS}\,}$ : Valeur maximale de l'inductance mutuelle entre l'enroulement du rotor et un du stator (correspondant à une position pour laquelle θ = 0 ± 2π/3 ).

La mise en équation n'est opérable que pour une machine à pôles lisses et dont le circuit magnétique est non saturé. Pour les autres machines, on apportera des correctifs permettant (avec plus ou moins d'exactitude) la prise en compte de leurs complexités.

Pour la suite on considère une machine pour laquelle :

• Son circuit magnétique est homogène (entrefer constant) et non saturé. De ce fait, les diverses inductances sont constantes (entrefer constant).
• Les courants des trois phases statoriques ont la même valeur efficace I_S (la machine est assimilable à un récepteur triphasé parfaitement équilibré).
• Elle possède une seule paire de pôles (machine bipolaire). Les machines multipolaires se ramènent à une machine bipolaire au prix d'une transformation angulaire.

Représentation schématique de la machine.

On fixe l'origine des temps de manière à pouvoir écrire :

${\displaystyle i_{A}(t)=I_{S}{\sqrt {2}}\cdot \cos \alpha _{S}\,}$

On en déduit les courants des deux autres phases du stator :

${\displaystyle i_{B}(t)=I_{S}{\sqrt {2}}\cdot \cos \left(\alpha _{S}-{\frac {2\pi }{3}}\right)\,}$

${\displaystyle i_{C}(t)=I_{S}{\sqrt {2}}\cdot \cos \left(\alpha _{S}+{\frac {2\pi }{3}}\right)\,}$

Avec : ${\displaystyle \alpha _{S}=\omega _{S}\cdot t\,}$, et ${\displaystyle \omega _{S}\,}$ : pulsation des courants statoriques.

Au rotor, il n'y a que le courant continu I_r alimentant la bobine du rotor par l'intermédiaire d'un contact glissant sur deux bagues collectrices.
Il n'y a pas de glissement dans le cas d'un moteur synchrone, seulement un léger angle de déphasage.

Remarque

Si le rotor est constitué d'un aimant, on considérera une bobine produisant un moment magnétique équivalent, c’est-à-dire traversée par un courant I_r que l'on détermine à l'aide de la méthode d'Hopkinson (application du théorème d'Ampère à un circuit magnétique).

C’est-à-dire :

${\displaystyle L_{a}\,}$ la longueur de l'aimant

${\displaystyle S_{a};S_{b}\,}$ respectivement la section moyenne de l'aimant et celle de la bobine

On pose :

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{b}={\mathcal {M}}_{a}\,}$

${\displaystyle NI_{r}.S_{b}=H.L_{a}.S_{a}\,}$

En supposant que la bobine et l'aimant ont la même section, on obtient :

${\displaystyle NI_{r}={\frac {B_{r}.L_{a}}{\mu _{0}}}\,}$

${\displaystyle \Phi _{A}=L_{S}i_{A}+M_{S}i_{B}+M_{S}i_{C}+M_{rS}\cos \theta \cdot I_{r},}$

Comme :

${\displaystyle i_{A}+i_{B}+i_{C}=0\,}$, alors ${\displaystyle M_{S}i_{B}+M_{S}i_{C}=-M_{S}i_{A}\,}$,

${\displaystyle \Phi _{A}=(L_{S}-M_{S})i_{A}+M_{rS}\cos \theta \cdot I_{r},}$

On pose

• ${\displaystyle (L_{S}-M_{S})={\mathcal {L}}_{S}\,}$ : inductance cyclique

L'expression du flux devient alors

${\displaystyle \Phi _{A}={\mathcal {L}}_{S}i_{A}+M_{rS}\cos \theta I_{r}\,}$

l'expression du nombre complexe représentant le flux est

${\displaystyle {\underline {\Phi }}_{A}={\mathcal {L}}_{S}{\underline {i}}_{A}+M_{rS}{\underline {I}}_{r}\,}$

avec ${\displaystyle {\underline {I}}_{r}\,}$ la représentation complexe d'un courant sinusoïdal « fictif » de valeur maximale ${\displaystyle I_{r}\,}$ et de pulsation ${\displaystyle \theta =\omega t\,}$.

En toute rigueur, cette substitution n'est valable qu'en régime établi : aucune modification de la charge ou de l'alimentation. C'est une condition nécessaire pour affirmer que la fréquence de rotation est exactement égale à la fréquence de l'alimentation.

Le flux traversant le rotor est le résultat de deux champ magnétiques :

• Le champ tournant, créé par les enroulements statoriques ;
• Le champ propre, créé par l'enroulement rotorique qui est constant (courant continu) mais qui tourne mécaniquement à la même vitesse que le précédent (machine synchrone). Avec la même limite qu'au paragraphe précédent : aucune modification de la charge ou de l'alimentation.

${\displaystyle \ V_{A}=R_{S}.I_{A}+{\frac {d\Phi _{A}}{dt}}\,}$

${\displaystyle {\underline {V}}_{A}=(R_{S}+j\omega _{S}{\mathcal {L}}_{S}){\underline {I}}_{A}+j\omega _{S}{\mathcal {M}}_{rS}{\underline {I}}_{r}\,}$

On pose ${\displaystyle E_{av}}$ la tension à vide, c’est-à-dire la tension lorsque ${\displaystyle {\underline {I}}_{A}=0}$ (tension créée par le seul champ rotorique)

${\displaystyle {\underline {V}}_{A}=(R_{S}+j\omega _{S}{\mathcal {L}}_{S}){\underline {I}}_{A}+{\underline {E}}_{av}\,}$

Il existe plusieurs modèles équivalents de la machine synchrone suivant le nombre de paramètres dont on veut tenir compte.

Le modèle de Behn Eschenburg ne s'applique que si la machine est non saturée et à pôles lisses. C'est le plus simple, il ne tient compte d'aucune saturation ni variation de l'entrefer. Il consiste à remplacer chaque phase de la machine par un ensemble de trois dipôles en série tels que la tension aux bornes de ce dipôle est égale à :

${\displaystyle {\underline {E}}_{av}=(R_{S}+j\omega _{S}{\mathcal {L}}_{S}){\underline {I}}_{A}+{\underline {V}}_{A}=(R_{S}+jX_{S}){\underline {I}}_{A}+{\underline {V}}_{A}\,}$

avec :

${\displaystyle R_{S}\,}$ et ${\displaystyle X_{S}\,}$ constants et indépendants du fonctionnement de la machine.

${\displaystyle {\underline {E}}_{av}=k\omega I_{r}\,}$ uniquement proportionnelle à la fréquence de rotation et au courant d'excitation (courant rotorique).

Ce modèle convient bien aux gros turboalternateurs de forte puissance. On peut encore simplifier le modèle (et les calculs qui en découlent) en négligeant ${\displaystyle R_{S}\,}$ devant ${\displaystyle X_{S}\,}$.

Détermination des paramètres du triangle de Potier.

Ce modèle est plus complet que celui de Behn-Eschenburg. Il tient compte de la saturation en faisant varier le courant d'excitation en fonction du courant traversant les bobines du stator. Cette modification du courant excitateur fait varier la fcem.

Dans ce modèle on a :

${\displaystyle i_{r}=i_{rv}-\alpha .I\,}$

${\displaystyle E=V+R.I+j.\omega .\lambda .I\,}$

Il permet de prendre en compte les variations angulaires de réluctance des machines synchrones à pôles saillants.

• Moteur sans balais
• Machine asynchrone
• Machine à courant continu
• Moteur pas à pas
• Compensateur synchrone
• Commande vectorielle
• Commande directe du couple

• Contraintes mécaniques sur un rotor de turbo-alternateur sur le site sitelec.org
• Les Machines synchrones autopilotées - Préparation à l’agrégation de génie électrique, sur geea.org [PDF]
• Cours et Problèmes sur les machines électriques dont la machine synchrone, sur mach.elec.free.fr [PDF]
• Se souvenir de Nikola Tesla. L'inventeur des moteurs à courants alternatifs.

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