Méthode des caractéristiques

Pour une équation aux dérivées partielles du premier ordre, la méthode des caractéristiques cherche des courbes (appelées « lignes caractéristiques », ou plus simplement « caractéristiques ») le long desquelles l'équation aux dérivées partielles se réduit à une simple équation différentielle ordinaire. La résolution de l'équation différentielle ordinaire le long d'une caractéristique permet de retrouver la solution du problème original.

On cherche une fonction ${\displaystyle u}$:

${\displaystyle u:(x,t)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}\mapsto u(x,t)\in \mathbb {R} }$

solution du problème suivant :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,\quad &(x,t)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}\\u(x,0)=u_{0}(x),&x\in \mathbb {R} \end{array}}\right.}$

dans laquelle ${\displaystyle \textstyle c}$ est une constante.

On cherche une ligne caractéristique ${\displaystyle \textstyle \left(x(s),t(s)\right)}$ le long de laquelle cette équation aux dérivées partielles du premier ordre se réduirait à une équation différentielle ordinaire. Calculons la dérivée de ${\displaystyle u}$ le long d'une telle courbe :

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u\left(x(s),t(s)\right)={\frac {dx(s)}{ds}}\,{\frac {\partial u}{\partial x}}\left(x(s),t(s)\right)+{\frac {dt(s)}{ds}}\,{\frac {\partial u}{\partial t}}\left(x(s),t(s)\right).}$

On remarquera aisément qu'en imposant ${\displaystyle \textstyle {\frac {dt}{ds}}=1}$ et ${\displaystyle \textstyle {\frac {dx}{ds}}=c}$, on obtient :

${\displaystyle {\frac {du}{ds}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.}$

La solution de l'équation reste donc constante le long de la ligne caractéristique.

Il vient ainsi trois équations différentielles ordinaires à résoudre :

• ${\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}$ : en posant ${\displaystyle \textstyle t(0)=0}$, on obtient :

${\displaystyle \forall s\in \mathbb {R} ^{+},\quad t(s)=s}$

• ${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=c}$ : en notant ${\displaystyle \textstyle x(0)=x_{0}}$, on obtient :

${\displaystyle \forall s\in \mathbb {R} ^{+},\quad x(s)=x_{0}+c\,s=x_{0}+c\,t}$

• ${\displaystyle {\frac {du}{ds}}=0}$ :

${\displaystyle \forall s\in \mathbb {R} ^{+},\quad u(s)=u(0)=u(x_{0},0)=u_{0}(x_{0})}$

Dans ce cas, les lignes caractéristiques sont donc des droites de pente ${\displaystyle \textstyle c}$, le long desquelles la solution reste constante. La valeur de la solution en un point ${\displaystyle \textstyle (x,t)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}}$ peut donc être retrouvée en cherchant la valeur de la condition initiale ${\displaystyle \textstyle u_{0}}$ à l'origine ${\displaystyle \textstyle x_{0}=x-c\,t}$ de la ligne caractéristique :

${\displaystyle \forall (x,t)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+},\quad u(x,t)=u_{0}(x-c\,t).}$

Soit X une variété différentiable et P un opérateur différentiel linéaire de ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$ dans lui-même d'ordre k. En se donnant un système de coordonnées xⁱ, P peut s'écrire sous la forme

${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}}$

où α désigne un multi-indice. Le symbole principal de P, noté σ_P, est la fonction sur le fibré cotangent T^∗X défini dans un système de coordonnées local ξ_i par

${\displaystyle \sigma _{P}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }}$

où les coordonnées ξ_i sont induites par les différentielles dxⁱ respectivement. Ceci permet d'assurer que σ_P est bien défini sur le fibré.

La fonction σ_P est homogène de degré k en ξ. Ces zéros, hors de la section nulle de T^∗X, sont les caractéristiques de P. Une hypersurface de X définie par l'équation F(x) = c est appelée hypersurface caractéristique en x si

${\displaystyle \sigma _{P}(x,dF(x))=0.}$

Les invariants de Riemann sont constants le long des courbes caractéristiques des équations aux dérivées partielles.

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