Méthode d'Euler semi-implicite

La méthode d'Euler semi-implicite peut être appliquée à une paire d'équations différentielles couplées de la forme

${\displaystyle \forall t\in I,{dx(t) \over dt}=f(t,v(t))}$

${\displaystyle \forall t\in I,{dv(t) \over dt}=g(t,x(t))}$

où ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} ^{+}}$, et ${\displaystyle f\ }$, ${\displaystyle g\ }$ sont des fonctions réelles sur ${\displaystyle I\times \mathbb {R} }$. ${\displaystyle x\ }$ et ${\displaystyle v\ }$ peuvent être des fonctions scalaires ou vectorielles.

On souhaite résoudre ce système d'équations avec les conditions initiales

${\displaystyle x(t_{0})=x_{0},\qquad v(t_{0})=v_{0}.}$

La méthode d'Euler semi-implicite donne une solution approchée discrète du problème continu précédent par itérations de

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{n+1}&=v_{n}+g(t_{n},x_{n})\,\Delta t\\[0.3em]x_{n+1}&=x_{n}+f(t_{n},v_{n+1})\,\Delta t\end{aligned}}}$

où ${\displaystyle [t_{0},...,t_{N}]}$ est une subdivision de ${\displaystyle I}$ telle que ${\displaystyle \forall n\in [1,N],t_{n}-t_{n-1}=\Delta t}$ et ainsi ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+n\Delta t}$.

Cette méthode est rendue semi-implicite par le fait d'utiliser ${\displaystyle v_{n+1}}$ et non ${\displaystyle v_{n}}$ (cas de la méthode d'Euler explicite) dans le calcul de mise à jour de ${\displaystyle x_{n+1}}$.

Appliquer la même méthode avec des pas de temps négatifs pour le calcul de ${\displaystyle (x_{n},v_{n})}$ d'après ${\displaystyle (x_{n+1},v_{n+1})}$ donne après réarrangement des termes la seconde expression de la méthode d'Euler semi-implicite :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n+1}&=x_{n}+f(t_{n},v_{n})\,\Delta t\\[0.3em]v_{n+1}&=v_{n}+g(t_{n},x_{n+1})\,\Delta t\end{aligned}}}$

La méthode d'Euler semi-implicite est, comme la méthode d'Euler explicite, un schéma d'ordre 1 de résolution numérique des équations différentielles.

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