Mécanique des solides déformables

On décrit la transformation de chaque point du milieu par une fonction (suffisamment régulière) ${\displaystyle {\underline {\Phi }}(M,t)}$ telle que ${\displaystyle {\underline {OM}}={\underline {\Phi }}(M_{0},t)}$.

On introduit alors le concept de déformation, pour mesurer la variation de distance entre deux points du solide à la suite de la transformation ${\displaystyle {\underline {\Phi }}}$.

On cherche à avoir une mesure de ${\displaystyle \|MN\|^{2}-\|M_{0}N_{0}\|^{2}}$.

Or on a ${\displaystyle {\underline {OM}}={\underline {\Phi }}(M_{0},t)}$. On peut donc écrire :

${\displaystyle {\underline {ON}}={\underline {OM}}+{\underline {\underline {F}}}\cdot {\underline {M_{0}N_{0}}}+o(\|{\underline {M_{0}N_{0}}}\|)}$

où :

${\displaystyle {\underline {\underline {F}}}={\underline {\underline {\operatorname {grad} }}}({\underline {\Phi }})={\frac {\partial {\underline {\Phi }}}{\partial M_{0}}}}$

est le gradient de la transformation.

On obtient donc :

${\displaystyle \|MN\|^{2}-\|M_{0}N_{0}\|^{2}={\underline {M_{0}N_{0}}}\left({\underline {\underline {F}}}^{T}\cdot {\underline {\underline {F}}}-{\underline {\underline {Id}}}\right){\underline {M_{0}N_{0}}}}$

On pose :

${\displaystyle {\underline {\underline {E}}}={\frac {1}{2}}\left({\underline {\underline {F}}}^{T}\cdot {\underline {\underline {F}}}-{\underline {\underline {Id}}}\right)}$

où ${\displaystyle {\underline {\underline {E}}}}$ est l'opérateur des déformations de Green-Lagrange.

Si on introduit le vecteur déplacement ${\displaystyle {\underline {u}}(M_{0},t)={\underline {M_{0}M}}}$, on obtient :

${\displaystyle {\underline {\underline {E}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}^{T}\cdot {\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}+{\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}+{\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}^{T}\right)}$

Si l'on fait l'hypothèse des petites déformations, on obtient l'opérateur des déformations linéarisé :

${\displaystyle {\underline {\underline {\varepsilon }}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}+{\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}^{T}\right)}$

Si l'on dessine un petit cube au sein de la matière, ce cube sera transformé en parallélépipède après déformation de la pièce (on suppose des petites déformations). On va donc avoir d'une part une élongation (ou contraction) différente selon les trois arêtes (${\displaystyle \epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3}}$), mais aussi une variation de l'angle droit pour chacun des trois angles, qui deviendront (${\displaystyle \pi /2-2\gamma _{1},\pi /2-2\gamma _{2},\pi /2-2\gamma _{3}}$).

Ces grandeurs permettent de définir le tenseur des déformations qu'on peut représenter sous la forme d'une matrice 3×3 dont les coefficients sont ces grandeurs.

Dans le cas général, un élément de matière situé au cœur d'une pièce est soumis à des contraintes dans diverses directions. Dans le cadre de la théorie du premier gradient, on représente cet état de contrainte par un tenseur d'ordre deux (que l'on peut lui-même représenter par une matrice 3×3) appelé tenseur des contraintes.

Les lois de comportement modélisent le comportement des solides par des lois empiriques liant deux grandeurs physiques, principalement les contraintes aux déformations (voire à la vitesse de déformation).

La base de la mécanique des milieux continus est l'étude des déformations et des phénomènes associés à une transformation d'un milieu. La notion de déformation sert à quantifier de quelle manière les longueurs ont été dilatées et les angles ont changé dans le milieu.

Une manière simple pour chercher à quantifier la déformation, est de regarder l'allongement relatif d'un segment dans le solide, ou la variation d'angle entre deux directions.

Pour l'allongement relatif ${\displaystyle \varepsilon }$, encore appelé déformation

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{l_{0}}}={\frac {l-l_{0}}{l_{0}}}}$

${\displaystyle l_{0}}$ étant la longueur initiale et ${\displaystyle \Delta l}$ l'allongement ; ${\displaystyle \varepsilon }$ est sans unité.

On pourra remarquer que lors d'une sollicitation en traction, ${\displaystyle \varepsilon }$ est positif, et que lors d'une compression, il est négatif.

Cette notion introduite ici est « globale » en cela que l'on regarde l'allongement relatif pour un segment de longueur ${\displaystyle l_{0}}$.

Pour introduire une notion locale, il faut considérer la limite de l'allongement relatif lorsque la longueur du segment tend vers 0 :

${\displaystyle \varepsilon =\mathop {\lim _{\ell \to 0}} {\frac {{\delta }{\ell }}{\ell }}}$

On se rend alors compte que la notion d'allongement relatif est assez pauvre, car au cœur du volume d'un solide, on peut considérer une infinité de directions pour les segments. Cette notion est cependant suffisante pour appréhender l'étude des poutres.

Les sollicitations sont quantifiées par la notion de contrainte ${\displaystyle \sigma }$, qui est l'effort surfacique exercé sur une partie de la pièce en un point par le reste de la pièce. Cette contrainte, si on la suppose uniforme dans la section, peut s'assimiler à la contrainte moyenne :

${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{S}}}$

${\displaystyle \sigma }$ est homogène à une pression et est exprimé en mégapascals (MPa) ou en newtons par millimètre carré (N/mm²).

Le fait d'utiliser ${\displaystyle \sigma }$ et ${\displaystyle \epsilon }$ permet d'écrire des lois locales et non globales, on peut alors écrire l'équilibre de chaque point du milieu et décrire son comportement (loi liant la contrainte et la déformation).

Le matériau est caractérisé par des coefficients d'élasticité, qui représentent la difficulté à déformer ; le principal est le module de Young, ${\displaystyle E}$, lié à la contrainte et la déformation par la loi de Hooke :

${\displaystyle \sigma =E\cdot \varepsilon }$,

${\displaystyle E}$ est homogène à une pression et est exprimé en mégapascals (MPa), gigapascals (GPa) ou en kilonewtons par millimètre carré (kN/mm²).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Solid mechanics » (voir la liste des auteurs).

• (es) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en espagnol intitulé « Mecánica de sólidos deformables » (voir la liste des auteurs).

• (fr) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en français intitulé « Mécanique des milieux continus » (voir la liste des auteurs).

• Concepts de base en théorie des milieux continus
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