Loi inverse-χ²

En théorie des probabilités et en statistique, la loi inverse- $\chi ^{2}$ (ou loi du $\chi ^{2}$ inverse) est la loi de probabilité[1] de la variable aléatoire dont l'inverse suit une loi du χ². Une variante par changement d'échelle existe également.

Loi inverse-χ²
Densité de probabilité


Fonction de répartition

Paramètres	$\nu >0\!$
Support	$x\in ]0,\infty [\!$
Densité de probabilité	${\frac {2^{-\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}\,x^{-\nu /2-1}e^{-1/(2x)}\!$
Fonction de répartition	$\Gamma \!\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2x}}\right){\bigg /}\,\Gamma \!\left({\frac {\nu }{2}}\right)\!$
Espérance	${\frac {1}{\nu -2}}\!$ pour $\nu >2\!$
Mode	${\frac {1}{\nu +2}}\!$
Variance	${\frac {2}{(\nu -2)^{2}(\nu -4)}}\!$ pour $\nu >4\!$
Asymétrie	${\frac {4}{\nu -6}}{\sqrt {2(\nu -4)}}\!$ pour $\nu >6\!$
Kurtosis normalisé	${\frac {12(5\nu -22)}{(\nu -6)(\nu -8)}}\!$ pour $\nu >8\!$
Entropie	$\scriptstyle {\frac {\nu }{2}}+\ln \left({\frac {1}{2}}\Gamma \!\left({\frac {\nu }{2}}\right)\right)-\left(1+{\frac {\nu }{2}}\right)\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)$
Fonction génératrice des moments	${\frac {2}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {-t}{2i}}\right)^{\!\!{\frac {\nu }{4}}}K_{\frac {\nu }{2}}\!\left({\sqrt {-2t}}\right)$
Fonction caractéristique	${\frac {2}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {-it}{2}}\right)^{\!\!{\frac {\nu }{4}}}K_{\frac {\nu }{2}}\!\left({\sqrt {-2it}}\right)$

Cette loi est utilisée en inférence statistique. Si X suit une loi inverse-χ², on notera : $X\sim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(\nu )$ .

Définition

Si X suit une loi du χ² à $\nu$ degrés de liberté, alors $1/X$ est de loi inverse-χ² à $\nu$ degrés de liberté.

Sa densité de probabilité est donnée par :

f(x;\nu )={\begin{cases}\displaystyle {\frac {2^{-\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}\,x^{-\nu /2-1}e^{-1/(2x)}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}

où $\Gamma$ est la fonction gamma et $\nu$ est appelé le nombre de degrés de liberté.

Variante

Une variante de la loi inverse-χ² existe, par un changement d'échelle. C'est la loi de $\nu /X$ lorsque X suit une loi du χ² à $\nu$ degrés de liberté. La densité de probabilité est alors donnée par :

f(x;\nu )={\begin{cases}\displaystyle {\frac {(\nu /2)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}x^{-\nu /2-1}e^{-\nu /(2x)}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}

Le degré de liberté est encore $\nu$ .

Liens avec d'autres lois

loi du χ² : Si $X\thicksim \chi ^{2}(\nu )$ , alors ${\frac {1}{X}}\thicksim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(\nu )$ .
la loi inverse-χ² est la loi inverse-gamma avec $\alpha ={\frac {\nu }{2}}$ et $\beta ={\frac {1}{2}}$ .

Références

Bernardo, J.M.; Smith, A.F.M. (1993) Bayesian Theory,Wiley (pages 119, 431) (ISBN 0-471-49464-X)

Voir aussi

Liens externes

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[1] Bernardo, J.M.; Smith, A.F.M. (1993) Bayesian Theory,Wiley (pages 119, 431) (ISBN 0-471-49464-X)