Loi de Burr

En théorie des probabilités, en statistique et en économétrie, la loi de Burr, loi de Burr de type XII, loi de Singh-Maddala, ou encore loi log-logistisque généralisée est une loi de probabilité continue dépendant de deux paramètres réels positifs c et k. Elle est communément utilisée pour étudier les revenus des ménages.

Loi de Burr
Densité de probabilité


Fonction de répartition

Paramètres	$c>0\!$ $k>0\!$
Support	$x>0\!$
Densité de probabilité	$ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}\!$
Fonction de répartition	$1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}$
Espérance	$k\operatorname {B} (k-1/c,\,1+1/c)$ où B est la fonction bêta
Médiane	$\left(2^{\frac {1}{k}}-1\right)^{\frac {1}{c}}$
Mode	$\left({\frac {c-1}{kc+1}}\right)^{\frac {1}{c}}$

Si X suit une loi de Burr (ou Singh-Maddala), on notera $X\sim SM(c,k)$ .

Caractérisation

La densité de probabilité de la loi de Burr est donnée par[1]^,[2] :

f(x;c,k)={\begin{cases}ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}

et sa fonction de répartition est :

F(x;c,k)={\begin{cases}1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}

Si c=1, la loi de Burr est la Distribution de Pareto.

Références

Maddala, G.S.. 1983, 1996. Limited-Dependent and Qualitative Variables in Econometrics. Cambridge University Press.
(en) Pandu R. Tadikamalla, « A Look at the Burr and Related Distributions », International Statistical Review, vol. 48, n^o 3,‎ 1980, p. 337-344 (lire en ligne)

Burr, I.W. (1942) "Cumulative frequency functions", Annals of Mathematical Statistics, 13, 215–232
Rodriguez, R.N. (1977) "A guide to Burr Type XII distributions", Biometrika, 64, 129–134

Voir également

Articles connexes

loi de Dagum, également connue comme la loi de Burr inversée.

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[1] Maddala, G.S.. 1983, 1996. Limited-Dependent and Qualitative Variables in Econometrics. Cambridge University Press.

[2] (en) Pandu R. Tadikamalla, « A Look at the Burr and Related Distributions », International Statistical Review, vol. 48, n^o 3,‎ 1980, p. 337-344 (lire en ligne)