Induction structurelle

Les listes sont définies comme étant

• soit la liste vide [ ],
• soit la liste obtenue par la mise en tête d'une liste ${\displaystyle \ell }$ d'un élément a, ce qui donne a : ${\displaystyle \ell }$.

La fonction length qui définit la longueur d'une liste se définit par induction structurelle :

• length ([ ]) = 0
• length (a : ${\displaystyle \ell }$) = 1 + length (${\displaystyle \ell }$).

La fonction concat qui concatène deux listes ${\displaystyle \ell _{1}}$ et ${\displaystyle \ell _{2}}$

• concat ([ ], ${\displaystyle \ell _{2}}$) = ${\displaystyle \ell _{2}}$
• concat (a : ${\displaystyle \ell _{1}}$, ${\displaystyle \ell _{2}}$) = a : (concat(${\displaystyle \ell _{1}}$, ${\displaystyle \ell _{2}}$))

On peut démontrer par induction structurelle la proposition suivante :

length(concat(${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2}}$)) = length(${\displaystyle \ell _{1}}$) + length(${\displaystyle \ell _{2}}$).

Première étape

length(concat([ ], ${\displaystyle \ell _{2}}$)) = length(${\displaystyle \ell _{2}}$) = 0 + length(${\displaystyle \ell _{2}}$) = length([ ]) + length(${\displaystyle \ell _{2}}$)

Deuxième étape La démonstration utilise l'hypothèse d'induction structurelle

length(concat(a : ${\displaystyle \ell _{1}}$, ${\displaystyle \ell _{2}}$)) = length(a : concat(${\displaystyle \ell _{1}}$, ${\displaystyle \ell _{2}}$)) = 1 + length(concat(${\displaystyle \ell _{1}}$, ${\displaystyle \ell _{2}}$))

= (par hypothèse d'induction structurelle) 1+ length(${\displaystyle \ell _{1}}$) + length(${\displaystyle \ell _{2}}$) = length(a:${\displaystyle \ell _{1}}$) + length(${\displaystyle \ell _{2}}$)

Considérons les arbres binaires définis ainsi :

• ${\displaystyle \Box }$ pour l'arbre vide,
• B${\displaystyle _{1}}$ ${\displaystyle \bullet }$ B${\displaystyle _{2}}$ pour un arbre non vide ayant pour sous-arbre gauche B${\displaystyle _{1}}$ et pour sous-arbre droit B${\displaystyle _{2}}$.

On peut définir la fonction taille (le nombre de nœuds internes de l'arbre binaire) :

• taille(${\displaystyle \Box }$) = 0
• taille(B${\displaystyle _{1}}$ ${\displaystyle \bullet }$ B${\displaystyle _{2}}$) = taille(B${\displaystyle _{1}}$) + taille(B${\displaystyle _{2}}$) + 1

La définition par induction structurelle d'une fonction ${\displaystyle g}$ s'écrit pour chaque constructeur ${\displaystyle f_{i}}$

• ${\displaystyle g(f_{i}(x_{1},..x_{a_{i}}),y_{1},...y_{n})=E_{i}(g(x_{1}),...,g(x_{a_{i}}),y_{1},...,y_{n})}$

où ${\displaystyle E_{i}}$ est une expression qui dépend de i'. On remarque que si ${\displaystyle f_{i}}$ est une constante, la définition est celle d'un cas de base:

• ${\displaystyle g(f_{i},y_{1},...y_{n})=E_{i}(y_{1},...,y_{n})}$

Le schéma de démonstration qu'une propriété P est valide sur toute une structure se présente sous la forme d'une règle d'inférence pour chaque constructeur ${\displaystyle f_{i}}$

${\displaystyle {\frac {P(x_{1})...P(x_{a_{i}})}{P(f_{i}(x_{1},...,x_{a_{i}}))}}}$

Il faut donc faire une démonstration d'« hérédité » pour chaque constructeur.

Le cas des entiers naturels est celui où il y a deux constructeurs: 0 d'arité 0 (donc une constante) et succ (autrement dit +1) d'arité 1. La récurrence traditionnelle se réduit donc à une récurrence structurelle sur ces deux constructeurs.