Inégalité arithmético-géométrique

En mathématiques, l'inégalité arithmético-géométrique (IAG) établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. C'est un résultat classique lié à la convexité.

Énoncé

La moyenne géométrique de $n$ réels strictement positifs $x_{1},\,\dots ,\,x_{n}$ est inférieure à leur moyenne arithmétique :

{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}\leqslant {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}

,

avec égalité (si et) seulement si $x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}$ .

Démonstration

Les deux réels ${\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$ (moyenne arithmétique) et ${\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}=(x_{1}\dots x_{n})^{1/n}$ (moyenne géométrique) étant strictement positifs, l'inégalité à démontrer équivaut (par croissance stricte du logarithme naturel) à

\ln \left((x_{1}\dots x_{n})^{1/n}\right)\leqslant \ln \left({\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}\right),

ou encore (d'après l'équation fonctionnelle du logarithme) à

{\frac {\ln(x_{1})+\cdots +\ln(x_{n})}{n}}\leqslant \ln \left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}\right).

Cette dernière inégalité n'est autre que l'inégalité de Jensen pour des isobarycentres, appliquée à la fonction logarithme, qui est concave.

Le cas d'égalité provient du fait que cette concavité est stricte.

L'inégalité arithmético-géométrique peut également être démontrée comme un corollaire de l'inégalité de Muirhead, appliquée aux suites (1,0, etc. 0) et (1/n, etc.,1/n).

Généralisation

Pondération

L'inégalité arithmético-géométrique se généralise aux moyennes pondérées arithmétique et géométrique :

Si $x_{1},\ldots ,x_{n}\geqslant 0$ et $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}>0$ alors, en notant $\alpha =\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}$ :
${\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}}\leqslant {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\ldots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }},$
avec égalité si et seulement si tous les $x_{k}$ sont égaux.

En effet, en supposant sans perte de généralité qu'aucun $x_{k}$ n'est nul et en notant $t_{k}:=\alpha _{k}/\alpha$ (strictement positifs et de somme $1$ ), l'inégalité équivaut (voir supra) à

t_{1}\ln(x_{1})+\dots +t_{n}\ln(x_{n})\leqslant \ln(t_{1}x_{1}+\dots +t_{n}x_{n})

,

qui n'est autre que l'inégalité de Jensen générale pour la fonction (concave) logarithme, et le cas d'égalité provient de la stricte concavité.

Inégalité de Maclaurin

On peut également généraliser l'inégalité arithmético-géométrique en remarquant que la moyenne arithmétique correspond à la première fonction symétrique élémentaire, et la moyenne géométrique à la dernière. L'inégalité arithmético-géométrique se réécrit :

{\sqrt[{n}]{\frac {\sigma _{n}}{\displaystyle {\binom {n}{n}}}}}\leqslant {\sqrt[{1}]{\frac {\sigma _{1}}{\displaystyle {\binom {n}{1}}}}}

Et on peut généraliser :

{\sqrt[{n}]{\frac {\sigma _{n}}{\displaystyle {\binom {n}{n}}}}}\leqslant {\sqrt[{n-1}]{\frac {\sigma _{n-1}}{\displaystyle {\binom {n}{n-1}}}}}\leqslant \dots \leqslant {\sqrt[{1}]{\frac {\sigma _{1}}{\displaystyle {\binom {n}{1}}}}}

soit

{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}\leqslant {\sqrt[{n-1}]{\frac {x_{1}\dots x_{n-1}+\dots +x_{2}\dots x_{n}}{n}}}\leqslant \dots \leqslant {\sqrt {\frac {x_{1}x_{2}+\dots +x_{n-1}x_{n}}{\displaystyle {\binom {n}{2}}}}}\leqslant {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}

Ce sont les inégalités de Maclaurin.

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

Augustin Cauchy, Œuvres complètes, Gauthier-Villard, 1867 (lire en ligne), p. 376 lire en ligne sur Gallica
Martin Aigner et Günter M. Ziegler, Raisonnements divins, Springer, 2008, 2^e éd. (lire en ligne), p. 127-129
(en) Peter S. Bullen, Handbook of Means and Their Inequalities, Kluwer Academic Publishers, 2003 (lire en ligne), p. 71-153
(en) G. H. Hardy, J. E. Littlewood et G. Pólya, Inequalities, CUP, 1952, 2^e éd. (lire en ligne), p. 16-21

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