Icosaèdre tronqué

Les coordonnées canoniques pour les sommets d'un icosaèdre tronqué centré à l'origine sont respectivement les rectangles orthogonaux, les pavés orthogonaux, puis le long des pavés orthogonaux :

${\displaystyle \left(0,\pm 1,\pm 3\varphi \right),\left(\pm 1,\pm 3\varphi ,0\right),\left(\pm 3\varphi ,0,\pm 1\right)}$

${\displaystyle \left(\pm 2,\pm (1+2\varphi ),\pm \varphi \right),\left(\pm (1+2\varphi ),\pm \varphi ,\pm 2\right),\left(\pm \varphi ,\pm 2,\pm (1+2\varphi )\right)}$

${\displaystyle \left(\pm 1,\pm (2+\varphi ),\pm 2\varphi \right),\left(\pm (2+\varphi ),\pm 2\varphi ,\pm 1\right),\left(\pm 2\varphi ,\pm 1,\pm (2+\varphi )\right)}$

où ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ est le nombre d'or. En utilisant ${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1}$, on vérifie que tous ces sommets sont sur une sphère de rayon ${\displaystyle {\sqrt {9\varphi +10}}}$, centrée à l'origine.

L'icosaèdre tronqué vérifie facilement la caractéristique d'Euler :

32 + 60 − 90 = 2.

Avec des arêtes égales à l'unité, la surface est (arrondie) de 21 pour les pentagones et 52 pour les hexagones, faisant 73 en tout (voir aires des polygones réguliers).

Comparé à un ballon de football.

Un ballon de football comprend le même motif de pentagones réguliers et d'hexagones réguliers, mais est plus sphérique en raison de la pression du gonflage et de l'élasticité de la matière avec laquelle on fabrique la balle.

Cette forme fut aussi la configuration des lentilles utilisées pour concentrer les ondes de choc d'explosion des détonateurs dans les bombes atomiques Gadget et Fat Man[1].

L'icosaèdre tronqué est aussi utilisé comme un modèle de la molécule de buckminsterfullerène (C₆₀). Les diamètres du ballon de football et de la molécule de buckminsterfullerène sont respectivement de 22 cm et d'environ 1 nm, par conséquent, le rapport de taille est de 200 000 000 pour 1.

Un icosaèdre tronqué avec des « arêtes solides » est un dessin de Léonard de Vinci, illustrant le livre De divina proportione de Luca Pacioli.