Hexacontagone

Un hexacontagone régulier est un hexacontagone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a huit : sept étoilés (notés {60/k} pour k impair de 7 à 29 sauf les multiples de 3 ou 5) et un convexe (noté {60}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'hexacontagone régulier ».

• Les huit hexacontagones réguliers avec, pour chacun, le symbole de Schläfli et l'angle interne.
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  {60}, 174°
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  {60/7}, 138°
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  {60/11}, 114°
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  {60/13}, 102°
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  {60/17}, 78°
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  {60/19}, 66°
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  {60/23}, 42°
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  {60/29}, 6°

Chacun des 60 angles au centre mesure ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{60}}=6^{\circ }}$ et chaque angle interne mesure ${\displaystyle {\frac {10\,440^{\circ }}{60}}=174^{\circ }}$.

Si a est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut ${\displaystyle P=60\,a}$ ;
• l'aire vaut ${\displaystyle A=15\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{60}}\right)}$ ;
• l'apothème vaut ${\displaystyle H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{60}}\right)}$ ;
• le rayon vaut ${\displaystyle R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{60}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{60}}\right)}}}$.

L'hexacontagone régulier est constructible à la règle et au compas, par exemple par bissection du triacontagone.

On pouvait le prévoir grâce au théorème de Gauss-Wantzel, puisque 60 est le produit de 4 (puissance de 2) par 3 et 5 (nombres premiers de Fermat distincts).

Expression des lignes trigonométriques pour les premiers multiples de 3° = π/60 rad

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