Heuristique (mathématiques)
Au sens le plus large, l'heuristique est la psychologie de la découverte, abordée par différents mathématiciens.
Au sens étroit, plus fréquent, une heuristique est une méthode de calcul qui fournit rapidement une solution réalisable, pas nécessairement optimale ou exacte, pour un problème d'optimisation difficile.
Tout particulièrement en théorie des nombres, on parle enfin de raisonnement heuristique pour une approche non rigoureuse (et ne démontrant par conséquent rien) remplaçant par exemple les nombres premiers par une distribution aléatoire, et montrant que le résultat cherché a une probabilité égale à 1.
Heuristique au sens large
Aspect psychologique
On distingue en général plusieurs temps
- la prise en compte du problème (question, contexte : données, contraintes, acteurs, tenants et aboutissants)
- l'incubation, recherche de solution, rumination parfois très longue ; la méthode du problème résolu peut ici dégager les conditions nécessaires à respecter.
- l'illumination (ou découverte de solution)
- l'explicitation, qui descend dans les détails
- la validation (qui doit relancer le processus en cas d'échec)
En mathématiques
Pólya a abordé ces questions sous l'angle des mathématiques.
Il distingue les niveaux opératoires, tactiques et stratégiques. Le premier regroupe des savoir-faire élémentaires, le dernier est le plus intuitif et le plus difficile. Mais l'expérience rend les niveaux inférieurs de plus en plus riches et efficaces.
Une fois le problème bien cerné (question, contexte : données, contraintes, tenants et aboutissants), selon les cas
- c'est un problème connu (ou un cas particulier) ;
- c'est un problème qu'on peut ramener à une combinaison de problèmes plus simples ;
- c'est un problème ressemblant à un problème qu'on sait traiter.
Le premier cas se produit d'autant plus souvent qu'on a plus d'expérience ; il peut demander une adaptation, afin de ne pas "écraser une noisette avec un marteau-pilon".
Le second cas correspond à une analyse cartésienne, et utilise le premier comme critère d'arrêt.
Le troisième cas est le plus intuitif, fertile mais incertain, car les problèmes analogues ont souvent, mais pas toujours, des solutions analogues ; de plus, si l'analogie est trop lointaine, on peut devoir la fragmenter en plusieurs stades intermédiaires.
Finalement, lorsqu'un plan d'action a été trouvé, on l'explicite pour le mettre en œuvre.
Si le résultat n'est pas bon, on remet en cause la démarche.
Si le résultat est correct, il est bon de voir si on peut faire mieux, plus efficace ou plus général, afin d'enrichir son expérience.
Arguments heuristiques
En théorie des nombres, de nombreuses conjectures reposent sur des arguments, dits heuristiques, consistants à estimer la probabilité de la conjecture en supposant par exemple les nombres premiers comme répartis au hasard ; on obtient ainsi parfois des estimations extrêmement précises, comme celles de la conjecture de Bateman-Horn, qui sont bien confirmées expérimentalement. Cette technique ne doit pas être confondue avec la méthode probabiliste, qui, malgré son nom, fournit des démonstrations rigoureuses et des résultats certains.
Heuristique au sens étroit
Une heuristique est une méthode de calcul qui fournit rapidement une solution réalisable, pas nécessairement optimale ou exacte, pour un problème d'optimisation difficile. C'est un concept utilisé entre autres en optimisation combinatoire, en théorie des graphes, en théorie de la complexité des algorithmes et en intelligence artificielle.
Une heuristique s'impose quand les algorithmes de résolution exacte sont de complexité exponentielle, et dans beaucoup de problèmes difficiles. L'usage d'une heuristique est aussi pertinent pour calculer une solution approchée d'un problème ou pour accélérer le processus de résolution exacte. Généralement, une heuristique est conçue pour un problème particulier, en s'appuyant sur sa structure propre, mais les approches peuvent contenir des principes plus généraux.
Ainsi la méthode gloutonne est une heuristique. C'est le cas
- du rendu de monnaie par divisions successives,
- de la méthode du plus proche voisin pour le problème du voyageur de commerce.
On parle de métaheuristique pour les méthodes approximatives générales, pouvant s'appliquer à différents problèmes (comme le recuit simulé par exemple).
Qualité d'une heuristique
Elle peut s'évaluer selon divers critères :
- Qualité du résultat : on implémente l'heuristique et on évalue la qualité de ses solutions par rapport aux solutions optimales (ou aux meilleures solutions connues), soit en termes de distance, soit en termes de probabilité de réussite. Ceci passe par la mise en place d'un jeu d'essai ou benchmark, ensemble d'instances d'un même problème accessible à tous.
- Coût de l'heuristique : complexité (temps, espace) de l'heuristique.
- Remise en cause du contexte originel : heuristique positive visant à enrichir le paradigme, mais sans remettre en cause son noyau dur.[pas clair]
- Étendue du domaine d'application (domaine d'optimalité et domaine d'admissibilité des solutions).
Ces critères permettent de comparer les heuristiques résolvant un même problème, afin de dégager les heuristiques dominantes.
Certaines sont non compétitives, d'autres se révèlent utiles dans les cas simples, ou au contraire ne se montrent efficaces que si elles s'attaquent à des problèmes importants.
Enfin, si une méthode algorithmique est hors d'atteinte, on peut mettre en concurrence diverses heuristiques pour profiter de l'ensemble de leurs domaines d'activités.
Voir aussi
Bibliographie
- Nicolas Pinel, La méthode heuristique de mathématiques : enseigner les mathématiques autrement à l'école, 2e éd., Éditions du Net, 2020.
- George Pólya, Comment poser et résoudre un problème, Dunod 1965, traduction de How to solve it, Princeton University Press, 1945; réédition J. Gabay.
- (en) Lane A. Hemaspaandra et Ryan Williams, « An atypical survey of typical-case heuristic algorithms », SIGACT News, vol. 43(4), , p. 70-89
- (en) Heiner Müller-Merbach, « Heuristics and their design: a survey », uropean Journal of Operational Research, vol. 8(1), , p. 1-23
- (en) C. Papadimitriou & K. Steiglitz, Combinatorial optimization: algorithms and complexity, Englewoods Cliffs, Prentice Hall, 1982.
- (en) Terence Tao, Solving Mathematical Problems: A Personal Perspective, Oxford University Press, 2006 (ISBN 9780199205608)
- Imre Lakatos, Preuves et Réfutations (en) : essai sur la logique de la découverte mathématique. Notamment concernant les heuristiques permettant d'obtenir le théorème de Descartes-Euler, , pour certains polyèdres et de le réfuter pour d'autres.
Notes et références
- Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Heuristique » (voir la liste des auteurs).
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