Heptacontagone

Un heptacontagone régulier est un heptacontagone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a douze : onze étoilés (notés {70/k} pour k impair de 3 à 33 sauf les multiples de 5 ou 7) et un convexe (noté {70}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'heptacontagone régulier ».

Les douze heptacontagones réguliers.

Représentation	{70}	{70/3}	{70/9}	{70/11}	{70/13}	{70/17}
Angle interne	≈ 174,857°	≈ 164,571°	≈ 133,714°	≈ 123,429°	≈ 113,143°	≈ 92,5714°
Représentation	{70/19}	{70/23}	{70/27}	{70/29}	{70/31}	{70/33}
Angle interne	≈ 82,2857°	≈ 61,7143°	≈ 41,1429°	≈ 30,8571°	≈ 20,5714°	≈ 10,2857°

Chacun des 70 angles au centre mesure ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{70}}=5{,}143^{\circ }}$ et chaque angle interne mesure ${\displaystyle {\frac {12\,240^{\circ }}{70}}=174{,}857^{\circ }}$.

Si a est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut ${\displaystyle P=70\,a}$ ;
• l'aire vaut ${\displaystyle A={\frac {70}{4}}\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{70}}\right)}$ ;
• l'apothème vaut ${\displaystyle H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{70}}\right)}$ ;
• le rayon vaut ${\displaystyle R={\frac {H}{\cos \left({\tfrac {\pi }{70}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\tfrac {\pi }{70}}\right)}}}$.

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