Groupe super-résoluble

En algèbre, un groupe est dit super-résoluble s'il possède une suite normale

G=G_{0}\supset G_{1}\supset \dots \supset G_{r}=\{e\}

(avec G_i normal dans G) dont tous les quotients G_i/G_i+1 sont cycliques.

Lien avec la résolubilité

Détaillons les implications strictes :

super-résoluble ⇒ polycyclique ⇒ résoluble.

Tout groupe super-résoluble est polycyclique (en) (notion plus faible où l'on demande seulement que chaque G_i+1 soit normal dans G_i).
Tout groupe polycyclique est résoluble (notion encore plus faible où de plus, on demande seulement que les quotients G_i/G_i+1 soient abéliens). Plus précisément, un groupe est polycyclique si et seulement s'il est résoluble et tous ses sous-groupes sont de type fini.
Le groupe alterné A₄ est polycyclique (car fini et résoluble) mais pas super-résoluble, puisque son seul sous-groupe normal non trivial (le groupe de Klein) n'est pas cyclique.
Pour tout n ≥ 2, le groupe de Baumslag-Solitar BS(1, n) = ⟨a, b | bab⁻¹ = aⁿ⟩ est résoluble mais pas polycyclique, car son sous-groupe dérivé est ℤ[1/n].

Propriétés

Tout groupe nilpotent dont l'abélianisé est de type fini est super-résoluble.
Tout groupe métacyclique (en) est super-résoluble. En particulier, tout Z-groupe (en) (groupe fini dont les sous-groupes de Sylow sont cycliques) est super-résoluble.
La classe des groupes super-résolubles est stable par sous-groupes, quotients et produits finis.
Le groupe dérivé d'un groupe super-résoluble est nilpotent.
Tout groupe fini super-résoluble possède une suite normale dont tous les quotients sont d'ordre premier. On peut même ordonner ces nombres premiers : pour tout nombre premier p, si π désigne l'ensemble des nombres premiers qui lui sont strictement supérieurs, tout groupe fini super-résoluble a un unique π-sous-groupe de Hall (i. e. dont l'ordre a pour facteurs premiers des éléments de π et l'indice n'est divisible par aucun élément de π). Un tel groupe est donc « à tour de Sylow ordonnée »[1]^,[2] (tandis que A₄, par exemple, n'a qu'une tour de Sylow non ordonnée).
Un groupe fini G est super-résoluble si et seulement si tous ses sous-groupes (y compris lui-même) vérifient la « réciproque du théorème de Lagrange » : pour tout diviseur d de l'ordre d'un sous-groupe H de G, H a au moins un sous-groupe d'ordre d[3].
Tout groupe fini super-résoluble est monomial (en), c'est-à-dire que toutes ses représentations complexes irréductibles sont induites par des représentations de degré 1 de sous-groupes.
Tout sous-groupe maximal d'un groupe super-résoluble est d'indice premier.
Un groupe fini est super-résoluble si (et seulement si) tous ses sous-groupes maximaux sont d'indices premiers.
Un groupe fini est super-résoluble si et seulement si toutes ses chaînes maximales de sous-groupes ont même longueur.
Tout groupe super-résoluble d'ordre n a un algorithme de transformation de Fourier discrète de complexité en temps O(n log n)[4].

Références

(de) Bertram Huppert (de), « Normalteiler und maximale Untergruppen endlicher Gruppen », Mathematische Zeitschrift, vol. 60,‎ 1954, p. 409-434 (lire en ligne).
(en) « Supersolvable groups and sylow towers », sur mathstackexchange, juin 2016.
(en) W. E. Deskins, « A characterization of finite supersolvable groups », Amer. Math. Monthly, vol. 75, n^o 2,‎ 1968, p. 180-182 (JSTOR 2315903). Le « seulement si » est aussi démontré dans (en) Henry G. Bray, « A note on CLT groups », Pacific J. Math., vol. 27, n^o 2,‎ 1968, p. 229-231 (lire en ligne).
(en) Ulrich Baum, « Existence and efficient construction of fast Fourier transforms on supersolvable groups », Computational Complexity, vol. 1, n^o 3,‎ 1991, p. 235-256 (DOI 10.1007/BF01200062).

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Supersolvable group » (voir la liste des auteurs).
(en) Reinhold Baer (en), « Supersoluble groups », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 6,‎ 1955, p. 16-32 (lire en ligne)
(en) Derek J. S. Robinson (de), A Course in the Theory of Groups, coll. « GTM » (n^o 80), 1996, 2^e éd. (lire en ligne), p. 150-151

Voir aussi

Liens externes

(en) Vipul Naik, « Supersolvable group », sur groupprops.subwiki.org
(en) C. J. E. Pinnock, « Supersolubility and some characterizations of finite supersoluble groups : MSci project », 1998

Bibliographie

(en) Eugene Schenkman, Group Theory, Krieger, 1975
(en) Roland Schmidt, Subgroup Lattices of Groups, de Gruyter, 1994 (lire en ligne)

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[1] (de) Bertram Huppert (de), « Normalteiler und maximale Untergruppen endlicher Gruppen », Mathematische Zeitschrift, vol. 60,‎ 1954, p. 409-434 (lire en ligne).

[2] (en) « Supersolvable groups and sylow towers », sur mathstackexchange, juin 2016.

[3] (en) W. E. Deskins, « A characterization of finite supersolvable groups », Amer. Math. Monthly, vol. 75, n^o 2,‎ 1968, p. 180-182 (JSTOR 2315903). Le « seulement si » est aussi démontré dans (en) Henry G. Bray, « A note on CLT groups », Pacific J. Math., vol. 27, n^o 2,‎ 1968, p. 229-231 (lire en ligne).

[4] (en) Ulrich Baum, « Existence and efficient construction of fast Fourier transforms on supersolvable groups », Computational Complexity, vol. 1, n^o 3,‎ 1991, p. 235-256 (DOI 10.1007/BF01200062).