Gravité de surface

L'expression exacte de la gravité de surface s'écrit, en unités géométriques,

${\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {M^{2}-a^{2}-Q^{2}}}{2M\left(M+{\sqrt {M^{2}-a^{2}-Q^{2}}}\right)-Q^{2}}}}$,

où M, Q, a représentent respectivement la masse, la charge électrique et le moment cinétique réduit (c'est-à-dire le rapport du moment cinétique à la masse) du trou noir.

Pour un trou noir extrémal, pour lequel la quantité ${\displaystyle M^{2}-a^{2}-Q^{2}}$ s'annule, on a

${\displaystyle \kappa _{\rm {Ext}}=0}$.

Dans le cas d'un trou noir de Schwarzschild, c'est-à-dire ne possédant au contraire ni charge électrique ni moment cinétique, on obtient

${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{4M}}}$,

ce qui donne, avec les unités du Système international,

${\displaystyle \kappa _{\rm {Sch}}={\frac {GM}{R^{2}}}}$,

avec

${\displaystyle R={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

correspondant au rayon de Schwarzschild. D'où, en éliminant ${\displaystyle R}$ :

${\displaystyle \kappa _{\rm {Sch}}={\frac {1}{M}}\left({\frac {c^{4}}{4G}}\right)}$

On y reconnaît la force ${\displaystyle c^{4}/4G}$ qui est la valeur de la force de Planck. La gravité de surface d'un trou noir de Schwarzschild est donc inversement proportionnelle à sa masse ${\displaystyle M}$, sa valeur étant l'inverse de sa masse en unité de Planck réduite (où G est remplacé par 4G).

La principale propriété de la gravité de surface d'un trou noir est qu'elle est strictement constante sur toute la surface du trou noir. Ce résultat est logique dans le cas d'un trou noir à symétrie sphérique (trou noir de Schwarzschild et de Reissner-Nordström), mais il est plus surprenant quand le trou noir est non sphérique du fait de sa rotation (trou noir de Kerr ou de Kerr-Newman).

La gravité de surface peut être déterminée en calculant la dérivée partielle de la masse d'un trou noir quelconque par rapport à sa surface A en gardant fixés sa charge électrique Q et son moment cinétique L, selon la formule

${\displaystyle \kappa ={\frac {G}{8\pi }}\left({\frac {\partial M}{\partial A}}\right)_{Q,L}}$.

De ce fait, la différentielle de la masse d'un trou noir s'écrit dans le système d'unités géométriques,

${\displaystyle {\rm {d}}M={\frac {\kappa }{8\pi }}{\rm {d}}A+...}$.

Le fait que la surface d'un trou noir croisse nécessairement au cours du temps, et que la gravité de surface soit constante sur l'horizon d'un trou noir est à rapprocher des principes de la thermodynamique qui disent que la température d'un objet à l'équilibre est partout la même dans l'objet et que son entropie ne peut que croître avec le temps. Ce fait n'est en réalité pas anodin et est à l'origine du développement d'une analogie profonde entre trous noirs et thermodynamique : la thermodynamique des trous noirs. La démonstration de ce résultat est relativement complexe, et est due à Brandon Carter, Stephen Hawking et James Bardeen, en 1973[1].