Grassmannienne

Un autre façon de réaliser la grassmannienne est de définir ses coordonnées plückeriennes ou grassmanniennes. Ce plongement de ${\displaystyle G_{p,n}(\mathbb {R} )}$ dans l'espace projectif ${\displaystyle \mathbb {P} (\Lambda ^{p}(\mathbb {R} ^{n}))}$ des produits extérieurs de degré k dans l'espace ℝⁿ prolonge les travaux de Plücker pour le cas des plans de ℝ⁴.

On introduit la base canonique ${\displaystyle (e_{i})_{i\in [[1,n]]}}$ de E = ℝⁿ et l'on note S une k-partie de {1, … , n}, ${\displaystyle E_{1}=E_{S}}$ le sous-espace engendré par les vecteurs ${\displaystyle (e_{i})_{i\in S}}$.

On note ${\displaystyle V_{S}=G_{k,n,S}}$ l'ensemble des supplémentaires de ${\displaystyle E_{2}=E_{S^{c}}}$.

Première étape

Soit V un élément de V_S.

Tout vecteur ${\displaystyle x\in V}$ s'écrit de façon unique ${\displaystyle x=u+v=p(x)+q(x)}$ avec ${\displaystyle u\in E_{1}}$ et ${\displaystyle v\in E_{2}}$. L'application ${\displaystyle V\to E_{1},x\mapsto u}$ est linéaire et injective. Comme V et ${\displaystyle E_{1}}$ ont même dimension, c'est un isomorphisme. On note ${\displaystyle \phi \in L(E_{1},V)}$ l'isomorphisme réciproque. On a alors ${\displaystyle x=u+q\circ \phi (u)}$ avec ${\displaystyle \psi =q\circ \phi \in L(E_{1},E_{2}).}$

Seconde étape

L'argument précédent montre que l'on peut associer de façon bijective, à tout élément V de ${\displaystyle V_{S}}$, une application ${\displaystyle \psi \in L(E_{1},E_{2})}$, ou encore sa matrice (dans les bases canoniques de E₁ et E₂), ${\displaystyle \psi _{S}(V)\in M_{n-k,k}}$ (l'ensemble des matrices réelles de taille n – k, k).

Cette bijection ${\displaystyle \psi _{S}:G_{k,n,S}=V_{S}\to M_{n-k,k}}$ est une description affine de ${\displaystyle G_{k,n,S}}$, qui est une partie ouverte (pour la topologie de Zariski qu'on est en train de construire) de la grassmannienne ${\displaystyle G_{k,n}}$.

Troisième étape

On montre que tout élément de ${\displaystyle G_{k,n}}$ appartient à ${\displaystyle G_{k,n,S}}$ pour au moins une k-partie S, et que pour deux parties différentes S et T, le changement de cartes ${\displaystyle \psi _{T}\circ (\psi _{S})^{-1}}$ induit par les descriptions de ${\displaystyle G_{k,n,S}}$ et ${\displaystyle G_{k,n,T}}$ est un morphisme (application rationnelle partout définie), bijective ainsi que sa réciproque (ou isomorphisme birégulier) entre ${\displaystyle \psi _{S}(G_{k,n,S}\cap G_{k,n,T})}$ et ${\displaystyle \psi _{T}(G_{k,n,S}\cap G_{k,n,T})}$.

On en déduit par recollement que cette grassmannienne est une variété algébrique.

La représentation précédente permet alors de montrer que ${\displaystyle G_{p,n}(\mathbb {R} )}$ est une variété non singulière, affine, fermée et bornée, birégulièrement isomorphe à ${\displaystyle G(n-p,n)(\mathbb {R} )}$[2].

Soit ${\displaystyle G_{p,n}(\mathbb {R} )}$ la grassmannienne des sous-espaces de dimension p de ℝⁿ. Dans l'espace ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$ des matrices carrées de taille n à coefficients réels, considérons le sous-ensemble des matrices de projecteurs orthogonaux de rang p, c'est-à-dire des matrices A vérifiant les trois conditions :

• ${\displaystyle A^{2}=A}$ (c'est la matrice d'un projecteur) ;
• ${\displaystyle ^{\rm {t}}A=A}$ (elle est symétrique) ;
• ${\displaystyle {\rm {Tr}}(A)=p}$ (sa trace est p).

On obtient par ce biais une représentation de ${\displaystyle G_{p,n}(\mathbb {R} )}$ comme un sous-ensemble affine des matrices carrées de taille n à coefficients réels.