Formule de Moivre

La formule de Moivre[alpha 1] affirme que, pour tout nombre réel $x$ et pour tout entier relatif $n$ :

\left(\cos x+\mathrm {i} \sin x\right)^{n}=\cos(nx)+\mathrm {i} \sin(nx)\quad (1)

Abraham de Moivre a donné son nom à la formule.

Le nombre i désigne l'unité imaginaire, c'est-à-dire le choix d'une racine carrée de –1. Elle porte le nom du mathématicien français Abraham de Moivre, qui a utilisé une formule relativement proche dans ses écrits.

Cette formule met en relation les nombres complexes et les fonctions trigonométriques cosinus et sinus. Parfois la formule est réécrite en remplaçant « $cos (x) + i sin (x)$ » par « $exp(i x)$ ». C'est la formule d'Euler. En élevant les deux membres de cette formule à la puissance $n$ , on démontre directement la formule de Moivre. C'est donc une démonstration qui est beaucoup plus simple que la démonstration par récurrence donnée ci-dessous.

Interprétation géométrique

Représentation graphique de z dans le plan complexe, coordonnées cartésiennes et polaires.

Pour $x$ réel, l'égalité « $cos 2 x + sin 2 x = 1$ » entraîne que le nombre complexe « $z = cos(x) + i sin(x)$ » est de module égal à 1. Dans le plan d'Argand, les nombres complexes de module 1 forment le cercle C de centre O et de rayon 1 (le cercle unité). En particulier, le point M d'affixe $z$ appartient à C. Si M est le point d'affixe 1, l'angle (OI, OM) mesure $x$ radians. La formule de Moivre affirme que $z n$ est l'affixe du point N de C tel que l'angle orienté (OI, ON) mesure $nx$ radians.

La formule de Moivre s'appuie sur un résultat plus général concernant l'interprétation géométrique du produit de nombres complexes : si $z$ et $w$ sont deux nombres complexes de module 1, on place les points M et N d'affixes respectives $z$ et $w$ , et on obtient $zw$ comme l'affixe du point P de C tel que (OI, OP) = (OI, OM) + (OI, ON). On dispose alors de la formule générale :

\left(\cos x+\mathrm {i} \sin x\right)\left(\cos y+\mathrm {i} \sin y\right)=\left(\cos(x+y)+\mathrm {i} \sin(x+y)\right)\quad (2)

Historique

Timbre à l'effigie d'Euler.

La forme courante de la formule apparaît dans l'Introduction à l'analyse infinitésimale[1] d'Euler qui la démontre[2], pour tout entier naturel $n$ , en 1748. Mais elle apparait de manière implicite[3] chez Abraham de Moivre à plusieurs reprises à partir de 1707[4], dans ses travaux sur les racines $n$ -ièmes de nombres complexes. Les deux problèmes sont effectivement liés : écrire que $(cos x + i sin x) n = cos(nx) + i sin(nx)$ est équivalent à dire que $cos x + i sin x$ est une des racines $n$ -ièmes du complexe $cos(nx) + i sin(nx)$ .

Démonstration...

de la formule (2)

Pour tous $x$ et $y$ réels, on a :

\left(\cos x+\mathrm {i} \sin x\right)\left(\cos y+\mathrm {i} \sin y\right)=\left(\cos x\cos y-\sin x\sin y\right)+\mathrm {i} \left(\sin x\cos y+\cos x\sin y\right)

Or,

\cos(x+y)=\left(\cos x\cos y-\sin x\sin y\right)\quad \mathrm {et} \quad \sin(x+y)=\left(\sin x\cos y+\cos x\sin y\right)

Donc,

\left(\cos x+\mathrm {i} \sin x\right)\left(\cos y+\mathrm {i} \sin y\right)=\cos(x+y)+\mathrm {i} \sin(x+y)

La formule (2) est donc établie.

de la formule (1)

On démontre (1) dans un premier temps pour $n > 0$ par récurrence sur $n$ .

Pour $n = 1$ , la formule est vraie.
Soit $k$ un entier non nul. Supposons la formule vraie pour $k$ . Alors,

\left(\cos x+\mathrm {i} \sin x\right)^{k}=\cos(kx)+\mathrm {i} \sin(kx)

Ce qui donne :

{\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+\mathrm {i} \sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+\mathrm {i} \sin x\right)^{k}\left(\cos x+\mathrm {i} \sin x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+\mathrm {i} \sin \left(kx\right)\right]\left(\cos x+\mathrm {i} \sin x\right)\end{alignedat}}

Par la formule (2), il vient :

\left(\cos x+\mathrm {i} \sin x\right)^{k+1}=\cos((k+1)x)+\mathrm {i} \sin((k+1)x)

Nous en déduisons que la formule est vraie au rang $k + 1$ .

D'après le principe de récurrence, il s'ensuit que la formule est vraie pour tous les entiers naturels non nuls.

Lorsque $n = 0$ , la formule est vraie puisque $cos( 0 x) + i sin( 0 x) = 1 + i \times 0 = 1$ , et par convention $z 0 = 1$ .

Lorsque $n < 0$ , nous considérons un entier naturel strictement positif $m$ tel que $n = - m$ . Ainsi

{\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}&=\left(\cos x+\mathrm {i} \sin x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+\mathrm {i} \sin x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+\mathrm {i} \sin mx\right)}}\\&=\cos \left(mx\right)-\mathrm {i} \sin \left(mx\right)\\&=\cos \left(-mx\right)+\mathrm {i} \sin \left(-mx\right)\\&=\cos \left(nx\right)+\mathrm {i} \sin \left(nx\right).\end{alignedat}}

Ainsi le théorème est vrai pour tous les entiers relatifs $n$ , c.q.f.d..

Utilisations de la formule de Moivre

Cette formule est utilisée pour rechercher les puissances n^ièmes de nombres complexes sous forme trigonométrique :

z^{n}=r^{n}(\cos(nx)+\mathrm {i} \sin(nx)\,)

ainsi que pour obtenir les formes de $cos(nx)$ et $sin(nx)$ en fonction de $sin(x)$ et $cos(x)$ .

Par exemple, pour avoir $cos(2 x)$ et $sin(2 x)$ , on égale :

(\cos(x)+\mathrm {i} \sin(x))^{2}=\cos(2x)+\mathrm {i} \sin(2x)\

On a :

\cos ^{2}(x)+2\cos(x)\sin(x)\mathrm {i} -\sin ^{2}(x)\,

=\cos(2x)+\mathrm {i} \sin(2x)\,

On identifie les parties réelles et imaginaires, pour obtenir les deux égalités suivantes :

\cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)\,

\sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)\,

On dispose ainsi des formules trigonométriques de duplication.

Polynômes de Tchebychev

Pafnouti Tchebychev.

La formule de Moivre donne :

\cos(nx)+\mathrm {i} \sin(nx)={\left(\cos x+\mathrm {i} \sin x\right)}^{n}=\sum _{p=0}^{n}{n \choose p}\cos ^{n-p}(x)\mathrm {i} ^{p}\sin ^{p}(x)

En prenant la partie réelle et en posant $p = 2 k$ , il vient :

\cos(nx)=T_{n}(\cos x)

où $T n$ est un polynôme de degré $n$ , appelé polynôme de Tchebychev.

T_{n}(X)=\sum _{0\leq 2k\leq n}{n \choose 2k}(-1)^{k}X^{n-2k}(1-X^{2})^{k}

Notes et références

Notes

Elle est parfois appelée « formule de de Moivre » pour se rapprocher de l'anglais Formula of De Moivre ou du consacré De Moivre's formula. En revanche, l'usage nettement prépondérant en France et dans les pays francophones, notamment dans l'enseignement, est « la formule de Moivre » car aucune contrainte typographique n'impose de faire figurer la particule « devant les noms d’une syllabe, les noms de deux syllabes avec finale muette et les noms commençant par une voyelle ou un h muet », comme le rappellent les recommandations des conventions typographiques dérivées du Lexique des règles typographiques en usage à l’Imprimerie nationale à sa p. 137 ; un extrait de celles-ci figure en page de discussion du présent article.

Références

Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, vol. 1, chap. 8 (« De quantitatibus transcendentibus ex circulo ortis »), § 133.
Énoncée plus que démontrée selon Flament 2003, p. 61.
Schneider 1968, p. 250.
Dès 1707, dans les Philosophical Transactions, n^o 309, art. 3, Résolution analytique de quelques équations de la 3^e, 5^e, 7^e puissance et des puissances supérieures (aperçu sur Google Livres), puis en 1730 dans ses Miscellanea Analytica, Londres, p. 1-2 et dans les Philosophical Transactions de 1738, n^o 451, problème III (aperçu sur Google Livres).

Bibliographie

Dominique Flament, Histoire des nombres complexes : Entre algèbre et géométrie, CNRS Édition, 2003
David E. Smith, A source book in mathematics, vol. 3, Courier Dover Publication, 1959
Ivo Schneider, « Der Mathematiker Abraham de Moivre (1667 - 1754) », Archive for History of Exact Sciences,‎ 31 décembre 1968, p. 177-317

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[1] Elle est parfois appelée « formule de de Moivre » pour se rapprocher de l'anglais Formula of De Moivre ou du consacré De Moivre's formula. En revanche, l'usage nettement prépondérant en France et dans les pays francophones, notamment dans l'enseignement, est « la formule de Moivre » car aucune contrainte typographique n'impose de faire figurer la particule « devant les noms d’une syllabe, les noms de deux syllabes avec finale muette et les noms commençant par une voyelle ou un h muet », comme le rappellent les recommandations des conventions typographiques dérivées du Lexique des règles typographiques en usage à l’Imprimerie nationale à sa p. 137 ; un extrait de celles-ci figure en page de discussion du présent article.

[2] Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, vol. 1, chap. 8 (« De quantitatibus transcendentibus ex circulo ortis »), § 133.

[3] Énoncée plus que démontrée selon Flament 2003, p. 61.

[4] Schneider 1968, p. 250.

[5] Dès 1707, dans les Philosophical Transactions, n^o 309, art. 3, Résolution analytique de quelques équations de la 3^e, 5^e, 7^e puissance et des puissances supérieures (aperçu sur Google Livres), puis en 1730 dans ses Miscellanea Analytica, Londres, p. 1-2 et dans les Philosophical Transactions de 1738, n^o 451, problème III (aperçu sur Google Livres).