Fonction hypergéométrique confluente

L'équation ${\displaystyle z{\frac {d^{2}u(z)}{dz^{2}}}+(c-z){\frac {du(z)}{dz}}-au(z)=0}$ peut être résolue à l'aide de la méthode de Frobenius, on choisit l'ansatz :

${\displaystyle u(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{a_{n}z^{n+r}},\qquad (a_{0}\neq 0),r\in \mathbb {R} .}$

Il vient l’équation :

${\displaystyle z^{r}\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}[\left((n+r)(n+r-1)+c(n+r)\right)z^{n-1}-\left((n+r)+a\right)z^{n}]=0}$

qui devient

${\displaystyle z^{r-1}a_{0}rc+z^{r}\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n+1}[\left((n+r+1)(n+r)+c(n+r+1)\right)z^{n}]-a_{n}\left((n+r)+a\right)z^{n}=0}$.

Comme le coefficient devant ${\displaystyle z^{r-1}}$ ne peut pas être annulé par un membre de la somme, il doit être nul, ainsi on trouve que ${\displaystyle r=0}$. On peut donc trouver une relation de récurrence entre les coefficients :

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}(n+a)}{(n+1)(n+c)}}}$.

On choisit ${\displaystyle a_{0}=1}$ et on trouve par exemple,:

${\displaystyle a_{1}={\frac {a}{c}}\quad a_{2}={\frac {a(a+1)}{2c(c+1)}}\quad a_{3}={\frac {a(a+1)(a+2)}{6c(c+1)(c+2)}}\quad ...\quad a_{n}={\frac {(a)_{n}}{(c)_{n}n!}}}$,

et finalement ${\displaystyle u(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}$ qui est bien la fonction hypergéométrique.

• Edmund Taylor Whittaker, An expression of certain known functions as generalized hypergeometric functions, Bull. Amer. Math. Soc. Volume 10, Number 3 (1903), 125-134.
• Lucy Joan Slater, Confluent hypergeometric functions in Handbook of Mathematical Functions, M. Abramowitz and I. Stegun (eds.) p. 503 (U.S. Government Printing Office, Washington, 1964)
• Francesco Giacomo Tricomi (en), Fonctions hypergéométriques confluentes, Mémorial des sciences mathématiques, n° 140 (Gauthier-Villars, 1960)

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