Fonction de Morse

En analyse, une fonction de Morse est une fonction différentiable de classe au moins dont les points critiques sont non dégénérés. La notion fut introduite par Marston Morse en 1925[1]. En topologie différentielle, l'utilisation des fonctions de Morse s'est avérée centrale dans la preuve du théorème du h-cobordisme (en).

Définition

Soit une fonction numérique de classe au moins définie soit sur un ouvert de soit sur une variété différentielle .

Définitions :

  • Un point du domaine de est dit être un point critique de la fonction si la différentielle de est nulle en , i.e. si .
  • Un point critique de est dit non dégénéré si la hessienne de en est non dégénérée.
  • La fonction est dite fonction de Morse si ses points critiques sont tous non dégénérés.
  • L'indice de Morse d'un point critique d'une fonction de Morse est le nombre de valeurs propres négatives de la hessienne de en .

Propriétés des fonctions de Morse

En vertu du lemme de Morse, autour de tout point critique d'une fonction de Morse , il existe un voisinage ouvert de et un système de coordonnées locales sur tel que pour tout on ait :

Ceci implique, en particulier, que les points critiques d'une fonction de Morse sont des points isolés.

Généricité des fonctions de Morse

Sur une variété différentielle , il existe une panoplie de fonctions de Morse. En effet, l'ensemble des fonctions de Morse lisses sur forme un sous-ensemble ouvert et dense dans l'espace des fonctions réelles lisses sur .

Références

  1. (en) Marston Morse, « Relations Between the Critical Points of a Real Function of n Independent Variables », Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, vol. 27, no 3, , p. 345-396 (DOI 10.2307/1989110, JSTOR 1989110).


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