Fibré associé

Soient :

• ${\displaystyle G}$, un groupe de Lie ;
• ${\displaystyle B}$, une variété différentielle ;
• ${\displaystyle \pi :P\to B}$, un ${\displaystyle G}$-fibré principal sur ${\displaystyle B}$ ;
• ${\displaystyle \Phi :G\to \mathrm {Diff} (P)}$ l'action de groupe à droite de ${\displaystyle G}$ sur ${\displaystyle P}$ ;
• ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Diff} (M)}$ une action de groupe à gauche de ${\displaystyle G}$ sur une variété différentielle ${\displaystyle M}$.

Définition : Le fibré associé à ${\displaystyle P}$ pour ${\displaystyle \rho }$ est le fibré ${\displaystyle \mathrm {pr} :E\to B}$ où ${\displaystyle E}$ est défini par :

${\displaystyle E:=P\times _{\rho }M:=(P\times M)/\sim }$

où la relation d'équivalence est :

${\displaystyle (a,b)\sim (\Phi _{\lambda }(a),\rho (\lambda )^{-1}(b)),\qquad \forall a\in P,\;\forall b\in M,\;\forall \lambda \in G}$

Remarques :

• Les fibres de ${\displaystyle E}$ sont de fibre type ${\displaystyle M}$. Il est donc commun d'écrire le fibré ${\displaystyle E}$ comme ${\displaystyle M\hookrightarrow E\to B}$.
• Lorsque l'action de groupe ${\displaystyle \rho }$ est une représentation de groupe ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Aut} (V)}$ sur un espace vectoriel ${\displaystyle V}$, le fibré associé est un fibré vectoriel de fibre type ${\displaystyle V}$.
• Lorsque ${\displaystyle \rho }$ agit trivialement sur ${\displaystyle M}$, i.e. ${\displaystyle \rho (\lambda )=\mathrm {id} _{M}}$ pour tout ${\displaystyle \lambda \in G}$, le fibré associé est trivial, i.e. ${\displaystyle P\times _{\rho }M=B\times M}$.

Donnons-nous un fibré vectoriel associé ${\displaystyle E=P\times _{\rho }V}$. Les sections ${\displaystyle \psi \in \Gamma (E)}$ du fibré ${\displaystyle E}$ sont en bijection avec les fonctions ${\displaystyle \psi ^{\sharp }:P\to V}$ qui sont ${\displaystyle \rho }$-équivariantes :

${\displaystyle (\Phi _{\lambda })^{*}\psi ^{\sharp }=\rho (\lambda )^{-1}\circ \psi ^{\sharp },\qquad \forall \lambda \in G}$

Explicitement, la relation entre la section ${\displaystyle \psi }$ et la fonction ${\displaystyle \psi ^{\sharp }}$ est :

${\displaystyle \psi (\pi (a))=[a,\psi ^{\sharp }(a)],\qquad \forall a\in P}$

Ici, ${\displaystyle [\cdot ]}$ dénote la classe d'équivalence pour la relation d'équivalence ci-haut.

La notion de section d'un fibré associé se généralise à la notion de forme différentielle à valeurs en un fibré associé. Ces dernières formes différentielles correspondent à des formes basiques sur ${\displaystyle P}$.

Exemple 1 : Soit ${\displaystyle \mathrm {Fr} (B)}$ le fibré des repères linéaires tangents à ${\displaystyle B}$. Point par point sur la variété ${\displaystyle B}$, les éléments du fibré des repères sont les isomorphismes linéaires allant de l'espace ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ à l'espace tangent de ${\displaystyle B}$ :

${\displaystyle \mathrm {Fr} _{x}(B):=\mathrm {Isom} (\mathbb {R} ^{n};T_{x}B)}$

Le fibré des repères ${\displaystyle \mathrm {Fr} (B)}$ est un ${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {R} )}$-fibré principal sur ${\displaystyle B}$. Considérons la représentation canonique ${\displaystyle \rho }$ du groupe structurel ${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {R} )}$ sur l'espace vectoriel ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Alors, le fibré tangent de ${\displaystyle B}$ est un fibré associé du fibré des repères :

${\displaystyle TB=\mathrm {Fr} (B)\times _{\rho }\mathbb {R} ^{n}}$

De même, le fibré cotangent de ${\displaystyle B}$ est un fibré associé pour la représentation duale de la représentation canonique :

${\displaystyle T^{*}B=\mathrm {Fr} (B)\times _{\rho ^{*}}(\mathbb {R} ^{n})^{*}}$

Exemple 2 : Soit ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }:=(\mathbb {C} \backslash \{0\},\cdot )}$ le groupe des nombres complexes non nuls munis de la multiplication. Donnons-nous un ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ -fibré principal ${\displaystyle P\to B}$. Considérons la représentation canonique de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$  :

${\displaystyle \rho (\lambda )(z):=\lambda z,\qquad \forall \lambda \in \mathbb {C} ^{\times },\;\forall z\in \mathbb {C} }$

Le fibré associé à ${\displaystyle P}$ via ${\displaystyle \rho }$ est un fibré en droites complexes ${\displaystyle \mathbb {C} \hookrightarrow E\to B}$. Un tel fibré vectoriel apparaît, par exemple, en quantification géométrique.

• 1963, S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry.
• 1986, S. K. Donaldson & P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds.
• 2006, José Figueroa-O’Farrill. Lectures on gauge theory.

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