Espace T1
En mathématiques, un espace accessible (ou espace T1, ou de Fréchet) est un cas particulier d'espace topologique. Il s'agit d'un exemple d'axiome de séparation.
Ne doit pas être confondu avec Espace de Fréchet ou Espace de Fréchet-Urysohn.
Définition
Un espace topologique E est T1 si pour tout couple (x, y) d'éléments de E distincts, il existe un ouvert contenant x et pas y.
Propriétés
Soit E un espace topologique. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
- E est T1 ;
- E est T0 et R0 ;
- pour tout x de E, le singleton {x} est fermé ;
- tout singleton est l'intersection de ses voisinages ;
- toute partie de E est l'intersection de ses voisinages (ou encore : des ouverts qui la contiennent) ;
- tout sous-ensemble fini de E est fermé ;
- tout sous-ensemble cofini de E est ouvert ;
- pour tout point x, l'ultrafiltre principal en x converge seulement vers x ;
- tout point limite d'une partie de E est point d'accumulation de cette partie.
Exemple
La topologie cofinie sur un ensemble infini est T1 mais pas séparée.
Notes et références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « T1 space » (voir la liste des auteurs).
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