Entropie topologique

Soit X un espace compact métrisable. Pour une distance d donnée sur X, on appelle r-suite toute suite de points de X séparés d'une distance au moins r : cette notion dépend explicitement de la distance d. Les r-suites peuvent être vues comme une variante discrète du recouvrement de X par des boules ouvertes. On note ${\displaystyle n_{d}(r)}$ le cardinal maximal d'une r-suite de X.

Plus précisément, si ${\displaystyle m_{d}(r)}$ désigne le nombre minimum de boules ouvertes de rayon r pour recouvrir X, alors, par application du principe des tiroirs, il ne peut exister aucune r suite d'une longueur supérieure à ${\displaystyle m_{d}(r/2)}$. Réciproquement, pour toute r-suite maximale ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$, les boules ouvertes de centres respectifs ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$ et de rayon r recouvrent X. De fait, on dispose de l'encadrement :

${\displaystyle m_{d}(r)\leq n_{d}(r)\leq m_{d}(r/2)}$.

Soit ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ un homéomorphisme de X. Définissons la distance itérée ${\displaystyle d_{n}}$ sur X par :

${\displaystyle d_{n}(x,y)=\sup _{0\leq i\leq n}d(f^{i}x,f^{i}y)}$.

Cette définition dépend de l'homéomorphisme f et ${\displaystyle d_{n}(x,y)}$ s'interprète comme la distance maximale entre les n premiers termes des orbites respectives de x et de y sous f. Donc, ${\displaystyle n_{d_{n}}(r)}$ est le nombre maximal de points de X restant séparés d'une distance au moins r durant les n premières itérations de f.

L'entropie topologique de f est définie formellement par :

${\displaystyle h(f)=\lim _{r\rightarrow 0}\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\log n_{d_{n}}(r)}$

A priori, cette définition dépend explicitement de l'utilisation d'une distance arbitraire sur l'espace X. Il s'avère a posteriori que cette quantité dépend uniquement de la topologie de X (de la donnée des ouverts de X).

Le pistage consiste à approcher les premiers termes d'une orbite de f par une suite de points à une distance ${\displaystyle \epsilon }$ près. En pratique, il est intéressant de pister des orbites par des pseudo-orbites. Le nombre minimal d'orbites de f qu'il faut utiliser pour pouvoir pister toutes les orbites de f est ${\displaystyle m_{d_{n}}(r)}$. Des inégalités :

${\displaystyle m_{d_{n}}(r)\leq n_{d_{n}}(r)\leq m_{d_{n}}(r/2)}$.

Il vient :

${\displaystyle h(f)=\lim _{r\rightarrow \infty }\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\log m_{d_{n}}(r)}$

Ainsi, pour des petits r, de manière informelle, ${\displaystyle m_{d_{n}}(r)}$ est en ordre de grandeur de l'ordre de ${\displaystyle exp((h(f)+o(r)).n)}$.

On considère ${\displaystyle d}$ et ${\displaystyle d'}$ deux distances sur ${\displaystyle X}$. Soit ${\displaystyle \varepsilon >0}$, on considère ${\displaystyle \delta (\varepsilon )=\sup \left\{d'(x,y),d(x,y)\leqslant \varepsilon \right\}}$.

Si une partie ${\displaystyle A}$ est de ${\displaystyle d_{n}}$-diamètre ${\displaystyle \leqslant \varepsilon }$, alors elle a un ${\displaystyle d'_{n}}$-diamètre ${\displaystyle \leqslant \delta (\varepsilon )}$. Donc, un ${\displaystyle d'_{n}}$-recouvrement est aussi un ${\displaystyle d_{n}}$-recouvrement. Comme ${\displaystyle X}$ est compact, on a ${\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\delta (\varepsilon )=0}$.

Donc,

${\displaystyle \lim \limits _{\delta \rightarrow 0}\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}\ln n_{d'_{n}}(\delta )\leqslant \lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}\ln n_{d_{n}}(\varepsilon )}$

En interchangeant ${\displaystyle d}$ et ${\displaystyle d'}$dans la définition de ${\displaystyle \delta (\varepsilon )}$, on a l'inégalité contraire. D'où l'indépendance de ${\displaystyle h}$ en la distance[1].

En conséquence immédiate, on en déduit que si ${\displaystyle (X,f)}$ et ${\displaystyle (Y,g)}$ sont (topologiquement) conjugués, c'est-à-dire tel qu'il existe un homéomorphisme ${\displaystyle \varphi :Y\rightarrow X}$ tel que ${\displaystyle f\circ \varphi =\varphi \circ g}$, alors ${\displaystyle h(f)=h(g)}$.

En effet, si ${\displaystyle d}$ est une distance sur ${\displaystyle X}$, alors ${\displaystyle d'(x,y):=d{\big (}\varphi (x),\varphi (y){\big )}}$est une distance sur ${\displaystyle Y}$ et on vérifie facilement que ${\displaystyle d'_{n}(x,y)=d_{n}{\big (}\varphi (x),\varphi (y){\big )}}$. Comme ${\displaystyle \varphi }$ envoie les recouvrements sur ${\displaystyle Y}$ sur ceux de ${\displaystyle X}$ en préservant leurs cardinaux, on en déduit que ${\displaystyle h(f)=h(g)}$.

${\displaystyle h(f)=\sup _{U}h(f,U)}$

Cette entropie relative est décroissante en U. Le supremum peut être lu comme un passage à la limite sur les recouvrements ouverts de X. Ce passage à la limite se formalise mathématiquement par la notion de filtre.

Plus simplement ici, il est possible d'introduire h(f) comme une limite sur une suite d'entropies relatives. Plus précisément, on a :

${\displaystyle h(f)=\lim _{n\rightarrow \infty }h(f,U_{n})}$

où ${\displaystyle U_{n}}$ est une suite de recouvrements de plus en plus fins, qui ont la propriété que, pour tout recouvrement V donné, pour n suffisamment grand, ${\displaystyle U_{n}}$ est plus fin que V.

Soit ${\displaystyle f:I=[a,b]\longrightarrow I}$ une fonction continue. On dit que ${\displaystyle f}$ est monotone par morceaux s'il existe une subdivision finie ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<...<x_{p}=b}$ telle que ${\displaystyle f}$ soit monotone sur chaque ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ et on note ${\displaystyle M(f)}$ le plus petit entier ${\displaystyle p\geqslant 1}$qui possède cette propriété. Alors, les limites suivantes existent et on a :

${\displaystyle h(f)=\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}\ln M(f^{\circ n})=\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}\mathrm {VT} (f^{\circ n})}$

où ${\displaystyle f^{\circ n}=f\circ \ldots \circ f}$ (composée ${\displaystyle n}$ fois) et ${\displaystyle VT(g)}$ est la variation totale de ${\displaystyle g}$[2].

Application au cas des fonctions tentes : On considère des fonctions tentes ${\displaystyle T_{s}:I\rightarrow I}$ où ${\displaystyle I}$ est un intervalle compact de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, c'est-à-dire des fonctions continues affines par morceaux toutes de même pente ${\displaystyle s}$ en valeur absolue.

Puisque les fonctions ${\displaystyle T_{s}^{n}}$ sont aussi des tentes de pente ${\displaystyle s^{n}}$, elles sont ${\displaystyle s^{n}}$-lipschitziennes et donc ${\displaystyle \mathrm {VT} (T_{s}^{n})\leqslant s^{n}\ell (I)}$ où ${\displaystyle \ell (I)}$ est la longueur de ${\displaystyle I}$. On en déduit déjà que ${\displaystyle h(T_{s})\leqslant \ln(s)}$.

En considérant une subdivision maximale ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<...<x_{p}=b}$ telle que ${\displaystyle T_{s}^{n}}$ est monotone (même affine de pente ${\displaystyle s^{n}}$) sur chaque ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$, alors ${\displaystyle T_{s}^{n}{\big (}[x_{i},x_{i+1}])}$ est inclus dans le segment d'extrémités ${\displaystyle \left\{T_{s}^{n}(x_{i}),T_{s}^{n}(x_{i+1})=T_{s}^{n}(x_{i})\pm s^{n}(x_{i+1}-x_{i})\right\}}$, on en déduit que ${\displaystyle p\leqslant s^{n}}$, d'où ${\displaystyle h(T_{s})\geqslant \ln(s)}$