Edward Waring

Miscellanea analytica, 1762

Waring a écrit un certain nombre d'articles dans les Philosophical Transactions of the Royal Society, traitant de la résolution d'équations algébriques, de théorie des nombres, de séries, de l'approximation des racines, de l'interpolation, de la géométrie des sections coniques et de la dynamique. Les Méditation Algebraicae (1770), où de nombreux résultats publiés dans Miscellanea Analytica ont été retravaillés et développés, ont été décrits par Joseph-Louis Lagrange comme « un travail plein d'excellentes recherches ». Dans cet ouvrage, Waring a publié de nombreux théorèmes concernant la résolution d'équations algébriques, qui ont attiré l'attention des mathématiciens, mais ses meilleurs résultats sont en théorie des nombres. Inclus dans ce travail la conjecture de Goldbach (chaque entier pair est la somme de deux nombres premiers), et aussi la conjecture suivante: tout entier impair est un nombre premier ou la somme de trois nombres premiers. Lagrange avait prouvé que tout entier positif est la somme d'au plus quatre carrés; Waring a suggéré que tout entier positif est soit un cube soit la somme de neuf cubes au maximum. Il a également avancé l'hypothèse que tout entier positif est soit une puissance quatrième soit la somme d'au plus dix-neuf puissance quatrième. Ces hypothèses forment ce que l'on appelle le problème de Waring. Il a également publié un théorème, dû à son ami John Wilson, concernant les nombres premiers; il a été prouvé plus tard rigoureusement par Lagrange. Dans Proprietates Algebraicarum Curvarum (1772), Waring a réédité sous une forme révisée les quatre premiers chapitres de la deuxième partie des Miscellanea Analytica. Il se consacra à la classification des courbes planes supérieures, améliorant les résultats obtenus par Isaac Newton, James Stirling, Leonhard Euler et Gabriel Cramer. En 1794, il publia quelques exemplaires d'un ouvrage philosophique intitulé Essai sur les principes de la connaissance humaine, qui circula parmi ses amis.

Le style mathématique de Waring est hautement analytique. En fait, il critiquait ces mathématiciens britanniques qui adhéraient trop strictement à la géométrie. Il était l'un des souscripteurs de Residual Analysis de John Landen (1764), un des travaux dans lesquels la tradition du calcul newtonien a été la plus sévèrement critiquée. Dans la préface des Meditationes Analyticae, Waring a montré une bonne connaissance des mathématiciens de son époque, tels que Alexis Clairaut, Jean le Rond d'Alembert et Euler. Il regrettait qu'en Grande-Bretagne les mathématiques étaient moins cultivées que sur le reste du continent, et souhaitaient clairement être considérées parmi les grands noms des mathématiques d'Europe—il ne fait aucun doute qu'il lisait leur travail avec un niveau jamais atteint par tout autre mathématicien britannique du dix-huitième siècle. Plus particulièrement, à la fin du chapitre trois des Meditationes Analyticae Waring présente quelques équations fluxionnelles partielles (équations différentielles partielles en terminologie leibnizienne); de telles équations sont un instrument mathématique d'une grande importance dans l'étude des corps continus qui a été presque complètement négligée en Grande-Bretagne avant les recherches de Waring. L'un des résultats les plus intéressants des Meditationes Analyticae est un test de convergence des séries généralement attribuées à d'Alembert (le « test de ratio »). La théorie de la convergence des séries (dont l'objet est d'établir à quelles conditions on peut dire que la somme d'un nombre infini converge) n'était pas très avancée au dix-huitième siècle. Le travail de Waring était connu à la fois en Grande-Bretagne et sur le continent, mais il est difficile d'évaluer son impact sur le développement des mathématiques. Son travail sur les équations algébriques contenues dans Miscellanea Analytica a été traduit en italien par Vincenzo Riccati en 1770. Le style de Waring n'est pas systématique et son exposition est souvent obscure. Il semble qu'il n'ait jamais enseigné et ne correspondait pas avec d'autres mathématiciens. Après que Jérôme Lalande eut remarqué en 1796, dans Notice sur la vie de Condorcet, qu'en 1764, il n'y avait pas un seul analyste de premier ordre en Angleterre, la réponse de Waring, publiée après sa mort comme « Lettre originale du Dr Waring » dans le Monthly Magazine, fut de déclaré qu'il avait donné « entre trois et quatre cents nouvelles propositions d'une sorte ou d'une autre ».

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