E6 (mathématiques)

En mathématiques, E₆ est le nom d'un groupe de Lie ; son algèbre de Lie est notée ${\mathfrak {e}}_{6}$ . Il s'agit de l'un des cinq groupes de Lie complexes de type exceptionnel. E₆ est de rang 6 et de dimension 78. Le groupe fondamental de sa forme compacte est le groupe cyclique Z₃ et son groupe d'automorphismes est le groupe cyclique Z₂. Sa représentation fondamentale est de dimension complexe 27. Sa représentation duale est également de dimension 27.

Une certaine forme non compacte réelle de E₆ est le groupe des collinéations du plan projectif octonionique OP², ou plan de Cayley (en). La forme compacte réelle de E₆ est le groupe des isométries d'une variété riemannienne de dimension 32, connu également sous le nom de plan projectif bioctonionique.

En physique des particules, E₆ joue un rôle dans certaines théories de grande unification.

Algèbre

Diagramme de Dynkin

Matrice de Cartan

{\begin{pmatrix}2&-1&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&2\end{pmatrix}}

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