Drapeau (mathématiques)

En mathématiques, un drapeau d'un espace vectoriel E de dimension finie est une suite finie strictement croissante de sous-espaces vectoriels de E, commençant par l'espace nul {0} et se terminant par l'espace total E :

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Si n est la dimension de E, les dimensions successives des sous-espaces Ei forment une suite finie strictement croissante d'entiers naturels :

Si di = i pour tout i (donc entre autres si k = n), alors le drapeau est dit total ou complet.

Base adaptée à un drapeau

À toute base (e1, …, en) de l'espace E de dimension n est associé un drapeau total, constitué des espaces successivement engendrés :

Exemple : si E est l'espace ℝm[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à m, sa base canonique est (1, X, X2, …, Xm) et sa dimension est n = m + 1. L'espace E0 = {0} et les espaces Ei + 1 = ℝi[X] successifs pour i allant de 0 à m constituent un drapeau total de E.

Réciproquement, un drapeau total possède plusieurs bases adaptées. On les obtient en choisissant des vecteurs ei tels que ei appartient à Ei mais pas à Ei – 1.

Drapeau stable par un endomorphisme

Si u est un endomorphisme de E, on dit que le drapeau est stable par u si chaque Ei est stable par u :

Par exemple, si l'on reprend pour E l'espace ℝm[X] et le drapeau formé des espaces ℝi[X] successifs, un endomorphisme laisse stable ce drapeau à condition de diminuer (au sens large) le degré des polynômes. C'est le cas des endomorphismes de dérivation (P donne P'), de translation (P donne P(X + 1)), de différence finie (P donne P(X + 1) - P), etc.

Théorème de trigonalisation utilisant les drapeaux

Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Un endomorphisme u de E est trigonalisable si et seulement s'il existe un drapeau total de E stable par u.

Les drapeaux dans le cadre euclidien

Lorsque E est un espace euclidien, le procédé de Gram-Schmidt permet, à partir d'une base adaptée à un drapeau total de E, d'obtenir une base orthonormale adaptée à ce même drapeau.

Si l'on combine avec la propriété précédente, on constate que tout endomorphisme trigonalisable peut être trigonalisé dans une base orthonormale.

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

(en) I. R. Shafarevich et A. O. Remizov, Linear Algebra and Geometry, Springer, , 526 p. (ISBN 978-3-642-30993-9, lire en ligne)

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