Dodécaèdre de Bilinski

En géométrie, le dodécaèdre de Bilinski ou dodécaèdre rhombique de seconde espèce est un polyèdre convexe dont les faces sont douze losanges identiques. Il a la même topologie, mais une géométrie différente du dodécaèdre rhombique de première espèce (ou de Kepler, ou isoédral), un autre dodécaèdre constitué de douze losanges identiques, qui a la propriété supplémentaire d’être isoédral : toutes ses faces sont identiques et dans une même orbite sous l’action du groupe de symétrie.

Dodécaèdre de Bilinski, avec un coloriage mettant en évidence les arêtes occupant des positions symétriques. Il admet trois plans de symétrie, orthogonaux. Son groupe de symétrie est D2h, groupe d’ordre 8.

Histoire

Ce solide apparaît pour la première fois dans un livre de 1752 de John Lodge Cowley, sous le nom de dodécarhombe[1],[2]. Son nom fait référence au mathématicien Stanko Bilinski, qui l’a redécouvert dans les années 1960[3]. Bilinski lui-même l’appelait le dodécaèdre rhombique de deuxième espèce[4]. La découverte de Bilinski vient corriger une omission de 75 ans dans la classification d’Evgraf Fedorov des polyèdres convexes à faces rhombiques identiques.

Propriétés
Le dodécaèdre de Bilinski étant un zonoèdre, on peut répartir ses 24 arêtes en 4 ensembles de 6 arêtes parallèles. Contracter en points les arêtes de l’un quelconque de ces quatre ensembles produit un rhomboèdre d'or.

Les faces du dodécaèdre de Bilinski sont des losanges d’or, autrement dit des losanges dont le rapport des longueurs des deux diagonales est le nombre d’or. Pour comparaison, celles du dodécaèdre rhombique de première espèce sont des losanges dont le ratio correspondant est la racine carrée de 2[5].

Ce solide est un zonoèdre, et un paralléloèdre, c’est-à-dire que, comme le dodécaèdre rhombique de première espèce, il peut paver l'espace tridimensionnel par translation.

Liens avec le dodécaèdre rhombique de première espèce

Le dodécaèdre de Bilinski et le dodécaèdre rhombique de première espèce ont la même topologie : leurs sommets, arêtes et faces se correspondent un à un, avec les mêmes relations d’adjacence. Cependant, leur géométrie est différente. Dans un article de 1962[6], H. S. M. Coxeter affirma, à tort, que le dodécaèdre de Bilinski pouvait être obtenu à partir du dodécaèdre rhombique de première espèce par une transformation affine. En effet, dans le dodécaèdre de Bilinski, la grande diagonale intérieure est parallèle aux petites diagonales de deux faces et aux grandes diagonales de deux autres faces (les faces horizontales et verticales sur la première figure), tandis que dans le dodécaèdre rhombique de première espèce, la diagonale intérieure correspondante est parallèle à quatre petites diagonales de face, or toute transformation affine du dodécaèdre rhombique de première espèce préserve le parallélisme entre cette diagonale intérieure et quatre diagonales de face de même longueur.

Une autre différence entre les deux dodécaèdres est que dans le dodécaèdre rhombique de première espèce, toutes les diagonales intérieures reliant des sommets opposés de degré 4 sont parallèles à des diagonales de face, tandis que dans le dodécaèdre de Bilinski, les plus courtes diagonales intérieures de cette sorte ne sont parallèles à aucune diagonale de face.

Liens avec d’autres zonoèdres

On peut obtenir le dodécaèdre de Bilinski à partir du triacontaèdre rhombique (autre zonoèdre dont les faces sont trente losanges d’or identiques) en contractant deux « ceintures » de faces aux arêtes parallèles. Ne contracter qu’une seule de ces deux « ceintures » produit, à la place, l’icosaèdre rhombique. Contracter les trois produit le rhomboèdre d’or[7]. Le dodécaèdre de Bilinski peut être disséqué en quatre rhomboèdres d’or, deux de chaque sorte[8].

Les sommets de ces zonoèdres peuvent être obtenus par combinaison linéaire de trois à six vecteurs. Un « nombre-ceinture » mn signifie que les arêtes du zoonèdre suivent n directions différentes, regroupant chacune m arêtes identiques parallèles entre elles. Par exemple, le dodécaèdre de Bilinski admet quatre ceintures de six arêtes parallèles entre elles.

Polyèdres convexes dont toutes les faces sont des losanges d’or
« Nombre-ceinture » 106 85 64 43
Faces Triacontaèdre
30		 Icosaèdre
20 (−10)		 Dodécaèdre
12 (−8)		 Hexaèdre
6 (−6)
Arêtes 60 40 (−20) 24 (−16) 12 (−12)
Sommets 32 22 (−10) 14 (−8) 8 (−6)
Images
Groupe de symétrie Ih
Ordre 120		 D5d
Ordre 20		 D2h
Ordre 8		 D3d
Ordre 12

Références
  1. George W. Hart, « A color-matching dissection of the rhombic enneacontahedron », Symmetry: Culture and Science, vol. 11, nos 1-4,‎ , p. 183–199 (Math Reviews 2001417, lire en ligne).
  2. John Lodge Cowley, Geometry Made Easy; Or, a New and Methodical Explanation of the Elements of Geometry, Londres, , Plate 5, Fig. 16.
  3. S. Bilinski, « Über die Rhombenisoeder », Glasnik Mat. Fiz. Astr., vol. 15,‎ , p. 251–263 (zbMATH 0099.15506)
  4. (en) Peter R. Cromwell, Polyhedra : One of the most charming chapters of geometry, Cambridge, Cambridge University Press, , 451 p. (ISBN 0-521-55432-2, Math Reviews 1458063, lire en ligne), p. 156.
  5. A new rhombic dodecahedron, Matt Parker, standupmaths
  6. H. S. M. Coxeter, « The classification of zonohedra by means of projective diagrams », Journal de mathématiques pures et appliquées, vol. 41,‎ , p. 137–156 (Math Reviews 0141004).
  7. Branko Grünbaum, « The Bilinski dodecahedron and assorted parallelohedra, zonohedra, monohedra, isozonohedra, and otherhedra », The Mathematical Intelligencer, vol. 32, no 4,‎ , p. 5–15 (DOI 10.1007/s00283-010-9138-7, Math Reviews 2747698, lire en ligne).
  8. « Golden Rhombohedra », sur CutOutFoldUp (consulté le )

Lien externe
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