Distance d'un point à un plan

Dans l'espace euclidien, la distance d'un point à un plan est la plus courte distance séparant ce point et un point du plan. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A au plan (P) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal H sur le plan (P).

La distance du point A au plan P est AH. Cette distance est inférieure à AM et AM'

Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, les points peuvent être définis à l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes.

Soit dans l'espace:

• Le point A de coordonnées ${\displaystyle (x_{a},y_{a},z_{a})}$
• Un point M quelconque du plan P
• Le projeté orthogonal H de A sur P, noté ${\displaystyle H(x_{h},y_{h},z_{h})}$
• Le plan P d'équation cartésienne: ax + by + cz + d = 0
• ${\displaystyle {\vec {n}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\\\end{pmatrix}}}$ un vecteur normal au plan P

Alors la distance ${\displaystyle \delta }$ du point A au plan P notée ${\displaystyle \delta _{\mathrm {A} ,\mathrm {P} }}$ vaut :

${\displaystyle \delta _{\mathrm {A} ,\mathrm {P} }={\frac {\left|{\vec {n}}\cdot {\vec {MA}}\right|}{||{\vec {n}}||}}}$

d'où, ${\displaystyle \delta _{\mathrm {A} ,\mathrm {P} }={\frac {\left|ax_{a}+by_{a}+cz_{a}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$

Démonstration

Premièrement, on sait que les vecteurs ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AH} }}}$ et ${\displaystyle {\vec {n}}}$ sont colinéaires, on peut donc écrire :

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AH} }}=\lambda \cdot {\vec {n}}}$

ce qui revient à,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{h}-x_{a}\\y_{h}-y_{a}\\z_{h}-z_{a}\\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}a\\b\\c\\\end{pmatrix}}}$

Deuxièmement, ${\displaystyle \mathrm {H} \in \mathrm {P} }$ donc:

${\displaystyle ax_{h}+bx_{h}+cx_{h}+d=0}$

Ceci revient à résoudre le système suivant:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{h}=\lambda a+x_{a}\\y_{h}=\lambda b+y_{a}\\z_{h}=\lambda c+z_{a}\\ax_{h}+by_{h}+cz_{h}+d=0\end{matrix}}\right.}$

La substitution des coordonnées de H dans la 4^e équation par leurs valeurs obtenues dans les 3 premières permet d'écrire :

${\displaystyle a(\lambda a+x_{\mathrm {a} })+b(\lambda b+y_{\mathrm {a} })+c(\lambda c+z_{\mathrm {a} })+d=0}$.

ou encore :

${\displaystyle ax_{a}+by_{a}+cz_{a}+d+\lambda (a^{2}+b^{2}+c^{2})=0}$.

P étant un plan, a, b, c ne sont pas tous nuls : on a

${\displaystyle \lambda =-{\frac {ax_{a}+by_{a}+cz_{a}+d}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

Finalement, la distance de A à P n'est autre que la longueur du vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AH} }}}$, donc :

${\displaystyle \delta _{\mathrm {A} ,\mathrm {P} }=\lVert {\vec {AH}}\rVert =\left|\lambda \right|\lVert {\vec {n}}\rVert }$

soit ${\displaystyle \delta _{\mathrm {A} ,\mathrm {P} }=\left|{\frac {-(ax_{a}+by_{a}+cz_{a}+d)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\right|{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

et enfin ${\displaystyle \delta _{\mathrm {A} ,P}={\frac {\left|ax_{a}+by_{a}+cz_{a}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$

Ceci termine la preuve.