Distance comobile

La relativité générale est une théorie locale, qui modélise la gravitation, ce qui manque dans la relativité restreinte. L'espace y est une variété riemannienne dont la courbure locale est reliée à la gravitation. La variété elle-même est globale.

Dans le contexte de la relativité générale, le postulat de Weyl est qu'un référentiel privilégié de l'espace-temps peut être défini et avoir un sens physique. La notion la plus courante qui permet d'implémenter cette notion est celle de coordonnées comobiles, où le référentiel spatial est attaché aux positions (spatiales) moyennes des galaxies (ou de n'importe quel gros morceau de matière qui se déplace plutôt lentement).

Dans ce choix de coordonnées, l'on peut ignorer à la fois le temps et l'expansion de l'Univers pour se concentrer sur la forme de l'espace (ou plus formellement, d'une hypersurface spatiale à temps cosmologique constant).

L'espace dans les coordonnées comobiles est (en moyenne) statique. Ceci est parfaitement cohérent avec le fait que l'Univers s'étend. Un choix de coordonnées n'est qu'un choix d'étiquettes numériques. Il arrive, selon le modèle standard du Big Bang, qu'un certain choix soit fait pour coller ces étiquettes de façon très pratique pour les calculs formels et aussi pour penser l'Univers comme objet statique. Pour revenir à l'expansion très réelle de celui-ci, il suffit de se rappeler le facteur d'échelle.

Ainsi, il y a aussi le temps cosmique qui, pour l'observateur sur un point spatial fixe en coordonnées comobiles, est identique à sa mesure locale du temps.

La distance comobile est donc la distance en coordonnées comobiles entre deux points dans l'espace, au même point du temps cosmique :

${\displaystyle \chi =\int _{t}^{t_{0}}{c\;{\mbox{d}}t' \over a(t')}}$

où ${\displaystyle a(t')}$ est le facteur d'échelle. Il faudrait éviter ici un mot comme simultanément, parce que tout en ayant un sens global, le temps cosmologique n'est pas identique au temps.

• Certains livres utilisent le symbole ${\displaystyle \chi }$ pour la distance comobile.

• Weinberg (1972) utilise le terme distance propre pour la distance comobile.

La distance comobile et le temps cosmique existent en tant que composante du modèle standard du Big Bang.

Pourtant, tandis que le temps cosmique est égal au temps mesuré localement pour un observateur dans un lieu spatial fixe, la distance comobile n'est pas, en général, égale à une distance physiquement subie par une particule se déplaçant plus lentement ou à une vitesse égale à celle de la lumière.

Si on divise une distance comobile par le temps cosmologique actuel (l'âge de l'Univers) et on appelle le résultat « la vitesse », alors les « vitesses » des « galaxies » proches de l'horizon des particules ou au-delà de l'horizon peuvent être plus grandes que la vitesse de la lumière.

Cela est le paradoxe de la phrase ambiguë l'espace s'étend plus rapidement que la vitesse de la lumière. Une réécriture de la phrase de façon plus claire est celle-ci :

Pour une « galaxie » proche de, ou au-delà de l'horizon, sa « vitesse », définie comme la distance comobile entre celle-ci et l'observateur divisée par le temps cosmologique actuel, peut être plus grande que la vitesse de la lumière.

Cette phrase, d'un point de vue strictement empirique (dans le sens où un objet caché dans une boîte n'existe pas, cf. Bertrand Russell), soulève de nombreux problèmes :

• Une « galaxie » distante vers l'horizon est vue lointaine dans le passé, lorsqu'elle n'a été qu'un tas d'hydrogène, mélangé avec un peu d'hélium, légèrement plus dense que dans les alentours, et il est peu probable que les étoiles soient déjà formées ; cette galaxie est alors, empiriquement, impossible à observer.
• De plus, une « galaxie » au-delà de l'horizon ne pourra être observée que dans le futur (par exemple, dans 5 milliards d'années), ce qui est encore incohérent avec un point de vue strictement empirique.
• Si on pense à la distance à la « galaxie » qui est définie en suivant le chemin des photons entre la galaxie et l'observateur, on ne peut pas le faire pour une « galaxie » au-delà de l'horizon, parce que le chemin n'arrive pas à l'observateur : c'est la définition de l'horizon. Par contre, pour une « galaxie » à l'intérieur de l'horizon, quoique très proche de celui-ci, l'usage de la même définition de distance suivant-le-voyage-du-photon peut se faire, mais la vitesse ainsi obtenue est toujours moindre que la vitesse de la lumière.

Pour des raisons semblables à celles du paradoxe des vitesses supraluminaires, certains voient la distance comobile comme une construction uniquement théorique dénuée de sens physique. Néanmoins, ce point de vue revient à affirmer que le modèle standard du Big Bang est également dénué de sens, car les coordonnées comobiles en sont un élément fondamental.

• La distance suivant-le-voyage-du-photon - c'est la vitesse de la lumière multipliée par l'intervalle en temps cosmologique, c.a.d. ${\displaystyle \int c\;dt}$, tandis que la distance comobile est ${\displaystyle \int c\;{dt \over a(t)}}$ où ${\displaystyle a(t)}$ est le facteur d'échelle.
• d_L distance de luminosité
• d_pm distance de mouvement propre, qui est la longueur en coordonnées comobiles correspondant à un angle d'un radian
  • (parfois appelée la distance de taille angulaire par James Peebles 1993 )
  • parfois appelée la distance des coordonnées
  • parfois d_pm est appelée la distance de diamètre angulaire
• d_a distance de diamètre angulaire

Les trois dernières sont liées par :

d_a = d_pm / (1 + z) = d_L /(1 + z)²

où z est le décalage vers le rouge.

Si et seulement si la courbure est nulle, alors la distance de mouvement propre et la distance comobiles sont identiques, c.a.d. ${\displaystyle d_{\mathrm {pm} }=\chi }$.

Pour une courbure négative,

${\displaystyle d_{\mathrm {pm} }=R_{C}\sinh {\chi \over R_{C}}}$,

tandis que pour une courbure positive,

${\displaystyle d_{\mathrm {pm} }=R_{C}\sin {\chi \over R_{C}}}$,

où ${\displaystyle R_{C}}$ est la (valeur absolue) du rayon de courbure.

Pour numériquement intégrer ${\displaystyle d_{p}}$ de l'observateur jusqu'à un décalage vers le rouge ${\displaystyle z}$ pour des valeurs arbitraires du paramètre de densité de la matière ${\displaystyle \Omega _{m}}$, de la constante cosmologique ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }}$, et du paramètre de la quintessence ${\displaystyle w}$ est

${\displaystyle d_{p}\equiv \chi (z)={c \over H_{0}}\int _{a'=1/(1+z)}^{a'=1}{\mathrm {d} a \over a{\sqrt {\Omega _{m}/a-(\Omega _{m}+\Omega _{\Lambda }-1)+\Omega _{\Lambda }a^{-(1+3w)}}}},}$

où c est la vitesse de la lumière et H₀ est la constante de Hubble.

En utilisant des fonctions sin et sinh, la distance de mouvement propre d_pm peut être obtenue de d_p.

La distance ordinaire, telle que subie par des particules se déplaçant moins vite que ou à la vitesse de la lumière, est la distance comobile multipliée par la valeur du facteur d'échelle à l'époque cosmologique étudiée.

Parmi d'autres noms pour celle-ci sont :

• distance physique - mais une faiblesse de ce terme est qu'il suggère que la distance comobile est moins physique que la distance ordinaire.
• distance propre - ce qui pourrait induire pas mal de confusion (voir au-dessus), mais le terme est correct si le calcul est fait à l'époque correspondant à l'objet étudié.