Diélectrophorèse

illustration d'un dipôle élémentaire plongé dans un champ électrique non constant

La manifestation la plus simple de la force diélectrophorétique[2] s'applique à un Dipôle électrostatique élémentaire, plongé dans un champ électrique spatialement variable, comme illustré ci-contre.

On considère une particule possédant deux charges opposées, ${\displaystyle q}$ et ${\displaystyle -q}$, dont le centre est au point ${\displaystyle M}$. Le vecteur ${\displaystyle {\vec {a}}}$ mène de la charge négative vers la charge positive, le moment dipolaire vaut donc ${\displaystyle {\vec {m}}=q{\vec {a}}}$.

Chaque charge subit une force de Coulomb proportionnelle au champ électrique qu'elle subit, on a donc sur la charge positive :

${\displaystyle {\vec {F}}_{+}=q{\vec {E}}({\vec {OM}}+{\frac {\vec {a}}{2}})}$

Et sur la charge négative :

${\displaystyle {\vec {F}}_{-}=-q{\vec {E}}({\vec {OM}}-{\frac {\vec {a}}{2}})}$

Si le champ était constant, les deux forces seraient exactement opposées et la résultante serait nulle, mais avec la variation du champ, on a au premier ordre une résultante issue de sa dérivée :

${\displaystyle {\vec {R}}={\vec {F}}_{+}+{\vec {F}}_{-}\approx q({\vec {a}}\cdot \nabla {\vec {E}})=({\vec {m}}\cdot \nabla ){\vec {E}}}$

Les deux forces n'étant pas exercées au même point, un moment est aussi créé, c'est la cause de l'électrorotation, phénomène étroitement associé à la diélectrophorèse.

champ électrostatique variable, au voisinage d'une pointe, déformé par la présence d'un objet de permittivité supérieure à celle du milieu

On illustre ci-contre la présence d'une particule spérique de permittivité ${\displaystyle \epsilon _{r}=3}$ dans un milieu de permittivité ${\displaystyle \epsilon _{r}=1}$ (vide) dans un champ fortement variable (au voisinage d'une pointe). La différence de permittivité correspond à une différence de polarisabilité, sous l'influence du champ ambiant, l'objet présente une densité de dipôle.

De façon générale, considérons une sphère de rayon ${\displaystyle r}$ et de permittivité relative complexe ${\displaystyle \epsilon _{rp}^{*}}$ dans un milieu de permittivité relative complexe ${\displaystyle \epsilon _{rm}^{*}}$, plongé dans un champ électrique alternatif ${\displaystyle {\vec {E}}}$[3]. La permittivité relative complexe se définit comme ${\displaystyle \epsilon _{p}^{*}=\epsilon _{p}-{\frac {j\sigma }{\omega }}}$, où ${\displaystyle \sigma }$ est la conductivité électrique.

Le dipôle induit vaut (selon la Formule de Clausius-Mossotti):

${\displaystyle {\vec {p}}=4\pi \epsilon _{rm}r^{3}{\frac {\epsilon _{rp}^{*}-\epsilon _{rm}^{*}}{\epsilon _{rp}^{*}+2\epsilon _{rm}^{*}}}{\vec {E}}}$

On peut alors, comme dans le cas du simple dipôle, écrire la résultante et le moment moyennés en temps créés par le champ électrique sur le dipôle[4] :

${\displaystyle \langle {\vec {F}}\rangle =(\Re ({\vec {p}})\cdot \nabla ){\vec {E}}}$

${\displaystyle \langle {\vec {T}}\rangle =\Re ({\vec {p}})\times {\vec {E}}}$

Qui causent respectivement les phénomènes de diélectrophorèse et d'électrorotation.

En remplaçant ${\displaystyle {\vec {p}}}$ par son expression, et en notant que, en électrostatique on a ${\displaystyle ({\vec {E}}\cdot \nabla ){\vec {E}}={\frac {1}{2}}\nabla (|{\vec {E}}|^{2})}$ (propriété qui découle de ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\wedge {\vec {\mathrm {E} }}={\vec {0}}}$), on ontient l'expression de la force diélectrophorétique[5] :

${\displaystyle \langle {\vec {F}}\rangle =2\pi r^{3}\varepsilon _{rm}\Re \left\{{\frac {\varepsilon _{rp}^{*}-\varepsilon _{rm}^{*}}{\varepsilon _{rp}^{*}+2\varepsilon _{rm}^{*}}}\right\}\nabla \left|{\vec {E}}_{rms}\right|^{2}}$

Dans le cas illustré, ${\displaystyle \varepsilon _{p}^{*}>\varepsilon _{m}^{*}}$, donc la quantité entre accolades est positive, et la particule sera attirée vers les zones où ${\displaystyle {\vec {E}}}$ est plus élevé, donc vers la pointe. On parle de diélectrophorèse positive. Inversement, une particule de permittivité inférieure à celle du milieu ambiant sera repoussée vers les zones où le champ électrique est d'amplitude moindre, c'est la diélectrophorèse négative[6].

L'équation donnée ci-dessus s'applique à une sphère, des équations plus complexes s'appliquent au cas d'un ellipsoïde. Il existe également des solutions analytiques pour une sphère entourée d'une paroi de permittivité différente, bonne approximation d'une cellule entourée de sa membrane.

La force étant en ${\displaystyle E^{2}}$, elle ne change pas de signe quand ${\displaystyle {\vec {E}}}$ change de sens, ce qui veut dire que le phénomène fonctionne en courant alternatif aussi bien qu'en statique. Les équations ci-dessus ont été développées pour le cas d'un champ alternatif. Travailler en alternatif permet de s'affranchir d'effets parasites, notamment l'électrolyse et l'électrophorèse (si la particule n'est pas parfaitement neutre)[7].

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