Grand axe

En géométrie, le grand axe (en latin : axis maior) d'une ellipse est le plus long diamètre de cette conique.

Le demi-grand axe d'une ellipse.

Le demi-grand axe (en latin : semiaxis maior) est la moitié du grand axe. Si l'ellipse est un cercle, son demi-grand axe est son rayon.

Mise en évidence

Une ellipse ${\mathcal {E}}$ est, par définition, l'ensemble des points $M$ d'un plan ${\mathcal {P}}$ dont la somme des distances à deux points fixes, $F$ et $F'$ , du plan ${\mathcal {P}}$ est constante.

Cette constante est une distance, $2a$ , appelée le grand axe de ${\mathcal {E}}$ .

{\mathcal {E}}\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;\{{M\in {\mathcal {P}}\;|\;{{\overline {FM}}+{\overline {F'M}}=cte\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;2a}}\}

Étymologie

La droite dont le grand axe est un segment est un des deux axes de symétrie (en latin : axis, au singulier) de l'ellipse.

Le grand axe est plus grand (major) que le petit axe.

Définition

Le grand axe d'une ellipse est son plus grand diamètre, un segment qui traverse à la fois le centre et les deux foyers de l'ellipse et la rejoint en ses deux points les plus opposés. Le demi-grand axe correspond à la moitié du grand axe et joint le centre et un bord de l'ellipse à travers l'un des foyers.

De façon similaire, le segment perpendiculaire au grand axe, passant par le centre et rejoignant l'ellipse est son petit axe. Les axes sont les équivalents elliptiques des diamètres d'un cercle, tandis que les demi-axes sont les analogues des rayons.

La longueur du demi-grand axe $a$ et celle du demi-petit axe $b$ sont liées par l'excentricité $e$ et le « paramètre » de l’ellipse, généralement noté p, représentant le demi latus rectum (corde parallèle à la directrice et passant par le foyer) :

b=a{\sqrt {1-e^{2}}}

p=a(1-e^{2})

ap=b^{2}

Notions connexes

Cercle principal

Le cercle ${\mathcal {C}}$ de centre $O$ , le centre d'une ellipse ${\mathcal {E}}$ , et de diamètre $d=2a$ , le grand axe de l'ellipse, est le cercle principal de l'ellipse.

L'ellipse ${\mathcal {E}}$ est l'image du cercle principal ${\mathcal {C}}$ par l'affinité orthogonale de base Ox et de rapport $b/a$ .

Notions équivalentes

Le cercle étant une ellipse d'excentricité linéaire nulle, le grand axe d'un cercle est son diamètre et son demi-grand axe son rayon.

Les paramètres d'une ellipse, dont le demi-grand axe (a) et le demi-petit-axe (b).

Les paramètres d'une hyperbole, dont l'axe transverse (a) et son axe conjugué (b).

L'hyperbole est une conique d'excentricité linaire supérieure à 1. L'axe transverse d'une hyperbole, segment de la droite qui traverse le centre et les deux foyers de l'hyperbole, est l'équivalent du demi-grand axe d'une ellipse. L'axe conjugué d'une hyperbole, segment de la droite compris entre l'un des sommets de l'hyperbole et l'une des droites asymptotes à la courbe de même sommet, est l'équivalent au demi-petit axe d'une ellipse.

Astronomie

Période orbitale

En astronomie, le demi-grand axe est un élément orbital important, permettant de définir partiellement une orbite. De façon générale, dans le cadre d'un problème à deux corps, le carré de la période orbitale $T$ d'un corps de masse $m$ orbitant autour d'un autre corps de masse $M$ est :

T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}\,

où :

$a$ est la longueur du demi-grand axe ;
$G$ est la constante gravitationnelle.

Si l'un des corps est suffisamment petit pour que sa masse soit négligée par rapport à l'autre :

T=2\pi {\sqrt {a^{3}/\mu }}

où $\mu$ est le paramètre gravitationnel standard.

Dans ce cas, pour toutes les orbites de même demi-grand axe, la période est la même quelle que soit l'excentricité.

On obtient donc la proportionnalité suivante :

T^{2}\propto a^{3}

ce qui correspond à la troisième loi de Kepler.

Distance moyenne

Le demi-grand axe ne correspond pas forcément à la distance moyenne entre les deux corps en orbite, car cette distance dépend du procédé utilisé :

En calculant la moyenne de la distance sur l'anomalie excentrique, on trouve effectivement le demi-grand axe.
La moyenne sur l'anomalie vraie donne le demi-petit axe.
Moyenner sur l'anomalie moyenne conduit à la valeur $a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)$ .

Par ailleurs, le « rayon moyen de l'ellipse », qui désigne en fait le rayon du cercle de même aire, est ${\sqrt {ab}}=a{\sqrt[{4}]{1-e^{2}}}$ .

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

(en) « Semi-major / Semi-minor axis of an ellipse », sur mathopenref.com (avec animation interactive)

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