Dérivée totale

En analyse, la dérivée totale d'une fonction est une généralisation du nombre dérivé pour les fonctions à plusieurs variables. Cette notion est utilisée dans divers domaines de la physique et tout particulièrement en mécanique des milieux continus et en mécanique des fluides dans lesquels les grandeurs dépendent à la fois du temps et de la position.

Définition

Soit $f (x 1, x 2,..., x n)$ une fonction à plusieurs variables et $x 1 = x 1 (t)$ , $x 2 = x 2 (t)$ , ... , $x n = x n (t)$ , n fonctions de $t$ . Si elle existe, la dérivée totale[1]^,[2]^,[3] par rapport à $t$ de la fonction composée $f (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t))$ s'exprime à partir de l'expression de la différentielle :

{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}{\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}{\frac {\mathrm {d} x_{2}}{\mathrm {d} t}}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}{\frac {\mathrm {d} x_{n}}{\mathrm {d} t}}

.

Elle est notée ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}$ et ne doit pas être confondue avec la dérivée partielle notée ${\frac {\partial }{\partial t}}$ .

Dérivée particulaire

Dans le cas où la fonction $f:\left(t,x(t),y(t),z(t)\right)\mapsto f\left(t,x(t),y(t),z(t)\right)$ dépend directement du temps en plus de la position, la dérivée totale s'écrit :

{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}

,

{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\right)f

,

où $\left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\right)$ est l'opérateur advection.

En mécanique des fluides, la première partie correspond à la variation locale tandis que la deuxième partie correspond à la variation liée au déplacement de la particule fluide (contribution dite advective ou convective). Parfois notée ${\frac {\mathrm {D} f}{\mathrm {D} t}}$ , la dérivée totale par rapport au temps est également qualifiée de dérivée particulaire[4], de dérivée convective[1], de dérivée substantielle, de dérivée matérielle ou de dérivée suivant le mouvement.

Annexes

Article connexe

Références

Pascal Febvre, Richard Taillet et Loïc Villain, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Superieur, 18 février 2013, 899 p. (ISBN 978-2-8041-7554-2, lire en ligne)
Thierry Alhalel, Laurent Chancogne et Florent Arnal, Mathématiques IUT 2e année : L'essentiel du cours, exercices avec corrigés détaillés, Dunod, 8 mai 2013, 240 p. (ISBN 978-2-10-059756-7, lire en ligne)
Heinrich Matzinger, Aide-mémoire d'analyse, PPUR presses polytechniques, 2000, 181 p. (ISBN 978-2-88074-444-1, lire en ligne)
José-Philippe Pérez et Olivier Pujol, Mécanique : fondements et applications - 7e édition : Avec 320 exercices et problèmes résolus, Dunod, 3 septembre 2014, 800 p. (ISBN 978-2-10-072189-4, lire en ligne)

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[:0-1] Pascal Febvre, Richard Taillet et Loïc Villain, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Superieur, 18 février 2013, 899 p. (ISBN 978-2-8041-7554-2, lire en ligne)

[2] Thierry Alhalel, Laurent Chancogne et Florent Arnal, Mathématiques IUT 2e année : L'essentiel du cours, exercices avec corrigés détaillés, Dunod, 8 mai 2013, 240 p. (ISBN 978-2-10-059756-7, lire en ligne)

[3] Heinrich Matzinger, Aide-mémoire d'analyse, PPUR presses polytechniques, 2000, 181 p. (ISBN 978-2-88074-444-1, lire en ligne)

[4] José-Philippe Pérez et Olivier Pujol, Mécanique : fondements et applications - 7e édition : Avec 320 exercices et problèmes résolus, Dunod, 3 septembre 2014, 800 p. (ISBN 978-2-10-072189-4, lire en ligne)