Déformation de marée

Figure 2. Géométrie pour le calcul du potentiel de marée causé par la Lune (masse ${\displaystyle M_{L}}$) à la distance ${\displaystyle R}$ du centre de masse de la Terre seule et à la distance ${\displaystyle R'}$ d'un point arbitraire ${\displaystyle P}$ sur la surface terrestre. L'intersection du plan orbital de la Lune avec la surface de la Terre est représentée par une ellipse. Les coordonnées angulaires de ${\displaystyle P}$ sont l'angle ${\displaystyle \theta }$, rapporté à la normale à ce plan, et l'angle ${\displaystyle \lambda }$, mesuré dans ce plan à partir de la droite qui joint le centre de masse de la Terre au centre de masse de la Lune. La Terre et la Lune orbitent toutes deux autour du centre de gravité du système, qui se trouve à une distance ${\displaystyle b}$ du centre de la Terre. Cette distance ${\displaystyle b}$ est un peu plus petite que le rayon de la Terre, désigné ici par ${\displaystyle a}$.

Considérons la géométrie de la figure 2 dans laquelle on a représenté la Terre et la Lune orbitant autour de leur centre de masse commun, lequel se trouve à l'intérieur de la Terre à une distance ${\displaystyle b}$ du centre de masse de la Terre seule. Nous simplifierons la théorie comme il est coutume de le faire[1], en commençant par considérer des marées, ou encore marées d'équilibre. On admet donc que la Terre montre toujours la même face à la Lune, c'est-à-dire qu'elle possède une rotation axiale autant qu'une révolution orbitale à la vitesse angulaire ${\displaystyle \omega _{L}}$. Ainsi, la figure entière tourne, et le point ${\displaystyle P}$ se trouve à une distance constante de l'axe de rotation.

${\displaystyle M_{L}}$ étant la masse de la Lune, au point P définissons la fonction scalaire suivante :

${\displaystyle \Phi (P)=-GM_{L}R'^{-1}-\left({\frac {\omega _{L}^{2}r^{2}}{2}}\right)}$

La règle des cosinus nous permet d'écrire :

${\displaystyle R'^{2}=a^{2}-2aR\cos {\Psi }+R^{2}}$,

de sorte que

${\displaystyle R'^{-1}=R^{-1}\left[1-2\left({\frac {a}{R}}\right)\cos {\Psi }+\left({\frac {a}{R}}\right)^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}=R^{-1}\sum _{n=0}^{+\infty }\left({\frac {a}{R}}\right)^{n}P_{n}(\cos {\Psi })}$,

où le symbole ${\displaystyle P_{n}}$ représente un polynôme de Legendre de degré ${\displaystyle n}$. Rappelons que ${\displaystyle P_{0}(\cos {\Psi })=1}$, ${\displaystyle P_{1}(\cos {\Psi })=\cos {\Psi }}$, ${\displaystyle P_{2}(\cos {\Psi })={\frac {3}{2}}\cos ^{2}({\Psi })-{\frac {1}{2}}}$, etc.

La fonction scalaire ${\displaystyle \Psi }$ peut donc encore s'écrire comme suit :

${\displaystyle \Psi (P)=-GM_{L}R^{-1}\sum _{n=0}^{+\infty }\left({\frac {a}{R}}\right)^{n}P_{n}(\cos {\Psi })-\left({\frac {\omega _{L}^{2}r^{2}}{2}}\right)}$.

D'autre part, nous avons : ${\displaystyle r^{2}=b^{2}-2ba\sin {\theta }\cos {\lambda }+a^{2}\sin ^{2}{\theta }}$.
Puisque ${\displaystyle \cos {\Psi }=\sin {\theta }\cos {\lambda }}$, il vient : ${\displaystyle r^{2}=b^{2}-2ba\cos {\Psi }+a^{2}\sin ^{2}{\theta }}$.

La distance ${\displaystyle b}$ est fournie par :

${\displaystyle b={\frac {M_{L}R}{M+M_{L}}}}$.

Comme ${\displaystyle R\cong 60a}$ et ${\displaystyle M\cong 81M_{L}}$, on trouve ${\displaystyle b\cong 4700\mathrm {km} }$. En ne retenant dans ${\displaystyle \Phi }$ que les termes jusqu'à l'ordre n=2, il vient :

${\displaystyle \Phi \simeq -GM_{L}R^{-1}\left[1+\left({\frac {a}{R}}\right)\cos {\Psi }+\left({\frac {a}{R}}\right)^{2}\left[\left({\frac {3}{2}}\right)\cos ^{2}{\Psi }-{\frac {1}{2}}\right]\right]-{\frac {\omega _{L}^{2}a^{2}\sin ^{2}{\theta }}{2}}}$.

En tenant compte dans cette dernière relation de la troisième loi de Kepler, à savoir

${\displaystyle \omega _{L}^{2}R^{3}=G(M+M_{L})}$

et de l'expression de ${\displaystyle b}$, nous obtenons :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\omega _{L}^{2}r^{2}=}$

Les marées qui contribuent le plus au freinage de la rotation terrestre sont les marées semi-diurnes (autrement dit, sectorielles) et surtout la marée M₂. Vu la symétrie du phénomène, c'est principalement la composante Est-Ouest de cette marée qui est impliquée dans le freinage.

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