Courant de déplacement

En magnétostatique, le théorème d'Ampère lie la circulation du champ magnétique sur un contour ${\displaystyle C}$ fermé, et le courant ${\displaystyle I_{int}}$ qui traverse toute surface s'appuyant sur ce contour :

${\displaystyle \oint _{C}{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}\ =\ \mu _{0}\ I_{int}}$

Sous forme locale, il s'écrit en termes du vecteur densité de courant ${\displaystyle {\vec {J}}}$ :

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}\ =\ \mu _{0}{\vec {J}}}$

Maxwell a complété l'équation locale précédente de la façon suivante :

On introduit le courant de déplacement de Maxwell :

${\displaystyle {\vec {J}}_{D}\ =\ \varepsilon _{0}\ {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}$

On a alors :

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}\ =\ \mu _{0}\ \left(\,{\vec {J}}\,+\,{\vec {J}}_{D}\,\right)}$

On obtient finalement l'équation

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}\ =\ \mu _{0}{\vec {J}}\ +\ \varepsilon _{0}\,\mu _{0}\ {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}$

La forme intégrale devient :

${\displaystyle \oint _{C}{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}\ =\ \mu _{0}\ \int _{S}\left({\vec {J}}\cdot {\hat {n}}\right)\mathrm {d} S\ +\ \varepsilon _{0}\,\mu _{0}\ {\frac {\partial ~~}{\partial t}}\ \int _{S}\left({\vec {E}}\cdot {\hat {n}}\right)\mathrm {d} S}$

Le premier intérêt de cette équation est que les équations de Maxwell deviennent compatibles avec l'équation de conservation de la charge. Par la suite, ce terme apporte une certaine symétrie dans les équations qui permettra d'établir une équation de d'Alembert, montrant que les champs électrique et magnétique propagent ainsi ce qu'on appellera onde électromagnétique.