Conjecture de Bieberbach

La conjecture de Bieberbach était une conjecture mathématique, c'est maintenant un théorème que l'on peut formuler comme suit: toute fonction entière $f$ injective sur le disque unité et s'écrivant :

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}z^{n}}

a des coefficients satisfaisant l'inégalité :

|a_{n}|\leq n|a_{1}|.

Démonstration

Cette conjecture, énoncée en 1916, a été démontrée par Louis de Branges de Bourcia en 1985.

On définit habituellement la classe S des fonctions $f$ injectives sur le disque unité telles que $a_{0}=0$ et $a_{1}=1$ . Ces fonctions sont dites schlicht. La conjecture de Bieberbach s'énonce alors sous la forme $|a_{n}|\leq n$ .

Le cas particulier n = 2 a été démontré par Ludwig Bieberbach. Ce résultat est lié au théorème de l'aire, et implique le théorème du quart de Koebe (en) : pour toute fonction de S, l'image du disque unité contient le disque de centre 0 et de rayon 1/4.

Avant la démonstration générale de la conjecture de Bieberbach, on connaissait plusieurs cas particuliers, et l'inégalité de Littlewood

|a_{n}|\leq {\rm {e}}n|a_{1}|.

Louis de Branges démontra en fait plus que la conjecture de Bieberbach : celle de Milin (en) (1971), qui l'impliquait.

Voir aussi

Bibliographie

Joseph Oesterlé, Démonstration de la conjecture de Bieberbach, Séminaire Bourbaki, 27 (1984-1985), Exposé No. 649, p. 319-334
(en) Peter L. Duren, Univalent functions, Springer, coll. « Grundlehren der math. Wiss. » (n^o 259), 1983, 384 p. (ISBN 978-0-387-90795-6, lire en ligne)
(en) Paul Zorn, « The Bieberbach Conjecture », Mathematics Magazine, vol. 59, n^o 3,‎ juin 1986, p. 131-148

Articles connexes

Critère de Nevanlinna (en)
Équation différentielle de Loewner (en)
Inégalité d'Askey-Gasper
Inégalité de Lebedev-Milin (en)

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