Équation de Fermat généralisée

On appelle ${\displaystyle (p,q,r)}$ la signature et ${\displaystyle \chi ={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}}$ la caractéristique de l'équation ${\displaystyle Ax^{p}+By^{q}+Cz^{r}=0}$. On distingue plusieurs grands cas selon la caractéristique, nommés par analogie avec la classification des espaces selon leur courbure :

• ${\displaystyle \chi >1}$, le cas sphérique. ${\displaystyle (p,q,r)}$ est à permutation près ${\displaystyle (2,2,n),n\geq 2}$ ou ${\displaystyle (2,3,3),(2,3,4),(2,3,5)}$.
• ${\displaystyle \chi =1}$, le cas euclidien (ou parabolique). ${\displaystyle (p,q,r)}$ est à permutation près ${\displaystyle (3,3,3)}$, ${\displaystyle (2,4,4)}$ ou ${\displaystyle (2,3,6)}$.
• ${\displaystyle \chi <1}$, le cas hyperbolique.

De par le nombre relativement faible de valeurs de ${\displaystyle (p,q,r)}$ les concernant, les cas sphérique et euclidien sont aujourd'hui bien compris. Le cas hyperbolique est donc celui qui fait l'objet du plus de recherches.

La conjecture de Beal implique le dernier théorème de Fermat. En effet, à toute solution ${\displaystyle (x,y,z)}$ de ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$correspond une solution ${\displaystyle (x',y',z')}$ respectant ${\displaystyle \mathrm {pgcd} (x',y',z')=1}$. Elle s'obtient en divisant ${\displaystyle x,y,z}$ par leur plus grand facteur commun.

La conjecture abc implique la conjecture de Fermat-Catalan et implique la conjecture de Beal à un nombre fini d'exceptions près.

Quand ${\displaystyle n}$ apparait comme exposant, il peut être toujours remplacé par ${\displaystyle kn}$ pour tout ${\displaystyle k}$ entier naturel puisqu'une puissance ${\displaystyle kn}$-ième est aussi une puissance ${\displaystyle n}$-ième. Cela permet souvent de ne traiter que les cas ${\displaystyle n{\text{ premier}}}$ et ${\displaystyle n=4}$.

Si ${\displaystyle |A|=|B|=|C|=1}$, la condition ${\displaystyle \mathrm {pgcd} (x,y,z)=1}$ équivaut à la condition ${\displaystyle \mathrm {pgcd} (x,y)=1{\text{ ou }}\mathrm {pgcd} (y,z)=1{\text{ ou }}\mathrm {pgcd} (z,x)=1}$ car tout entier divisant facteur de deux termes parmi ${\displaystyle x,y,z}$ divise aussi le troisième.

Si ${\displaystyle (A,B,C)=(1,1,-1)}$, alors

• ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ jouent des rôles symétriques et peuvent donc être échangés.
• Si ${\displaystyle q}$ est impair, alors résoudre l'équation de signature ${\displaystyle (p,q,r)}$ équivaut à résoudre celle de signature ${\displaystyle (r,q,p)}$ en remplaçant ${\displaystyle y}$ par ${\displaystyle -y}$.
• Ensemble, ces deux remarques font que, si au moins deux entiers parmi ${\displaystyle p,q,r}$ sont impairs, l'équation de signature ${\displaystyle (p,q,r)}$ équivaut à toutes celles dont la signature est une permutation de ${\displaystyle (p,q,r)}$.

La condition ${\displaystyle xyz\neq 0}$ est là pour éviter qu'un terme de l'équation ne disparaisse. Dans le cas où il n'y a que deux termes, l'équation est très facile à résoudre.

La condition ${\displaystyle \mathrm {pgcd} (x,y,z)=1}$ s'explique par le fait qu'on peut obtenir facilement d'au moins deux manières une infinité de solutions inintéressantes[1]^,[3] :

• si ${\displaystyle p,q,r}$ sont premiers entre eux, alors il existe par le théorème des restes chinois ${\displaystyle (\lambda _{a},\lambda _{b},\lambda _{c})}$ tels que ${\displaystyle {\begin{cases}p\mid \lambda _{a}+1,\lambda _{b},\lambda _{c}\\q\mid \lambda _{a},\lambda _{b}+1,\lambda _{c}\\r\mid \lambda _{a},\lambda _{b},\lambda _{c}+1\\\end{cases}}}$ de sorte qu'à tous ${\displaystyle a,b,c}$ tels que ${\displaystyle Aa+Bb+Cc=0}$ on puisse associer une solution de l'équation de Fermat généralisée ${\displaystyle (x,y,z)=\left(a^{\frac {\lambda _{a}+1}{p}}b^{\frac {\lambda _{b}}{p}}c^{\frac {\lambda _{c}}{p}},a^{\frac {\lambda _{a}}{q}}b^{\frac {\lambda _{b}+1}{q}}c^{\frac {\lambda _{c}}{q}},a^{\frac {\lambda _{a}}{r}}b^{\frac {\lambda _{b}}{r}}c^{\frac {\lambda _{c}+1}{r}}\right)}$ (qui s'obtient en multipliant les deux membres de l'égalité ${\displaystyle Aa+Bb+Cc=0}$ par ${\displaystyle a^{\lambda _{a}}b^{\lambda _{b}}c^{\lambda _{c}}}$).
• À toute solution ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ correspond une infinité de solutions ${\displaystyle (x_{n},y_{n},z_{n})}$ définies par ${\displaystyle (x_{n+1},y_{n+1},z_{n+1})=(x_{n}^{qr+1}y_{n}^{qr}z_{n}^{qr},x_{n}^{rp}y_{n}^{rp+1}z_{n}^{rp},x_{n}^{pq}y_{n}^{pq}z_{n}^{pq+1})}$.

Les tableaux de résultat sur cette page ne consignent que les solutions primitives non triviales. Lorsque l'exposant est pair, les différents signes sont omis. On utilisera la notation ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ pour signifier que toutes les permutations de ${\displaystyle (p,q,r)}$ sont considérées.

Frits Beukers a démontré que, à ${\displaystyle (p,q,r)}$ fixé, soit il n'y a aucune solution, soit il y en a une infinité[4].

Si ${\displaystyle (A,B,C)=(1,1,-1)}$, nous disposons d'un nombre fini de paramétrisations polynomiales à coefficients entiers à deux variables[3] générant toutes les solutions :

${\displaystyle (p,q,r)=}$	sous-cas	date	auteurs	notes (${\displaystyle u,v}$ sont des entiers non nuls premiers entre eux)
${\displaystyle (2,2,n)}$	${\displaystyle n=2}$			Les solutions sont les triplets pythagoriciens : ${\displaystyle (x,y,z)=(u^{2}-v^{2},2uv,u^{2}+v^{2})}$
	${\displaystyle n}$ quelconque			Une paramétrisation : ${\displaystyle (x,y,z)=({\mathfrak {Re}}(u+vi)^{n},{\mathfrak {Im}}(u+vi)^{n},u^{2}+v^{2})}$. Voir Théorème des deux carrés de Fermat
${\displaystyle (2,n,2)}$				C'est un cas facile à résoudre
${\displaystyle \{2,3,3\}}$			Louis Mordell[5]
${\displaystyle (2,3,4)}$			Don Zagier[5]
${\displaystyle (2,4,3)}$				4 paramétrisations polynomiales
${\displaystyle \{2,3,5\}}$		2004	Johnny Edwards[6]	27 paramétrisations polynomiales

Si ${\displaystyle (A,B,C)=(1,1,-1)}$, nous avons les résultats suivants

${\displaystyle (p,q,r)=}$	sous-cas	date	auteurs	notes
${\displaystyle \{2,3,6\}}$		2014	Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani[7]	Une solution, ${\displaystyle 1^{6}+2^{3}=3^{2}}$
${\displaystyle \{2,4,4\}}$	${\displaystyle (2,4,4)}$	~1640	Pierre de Fermat	Aucune solution. Voir Théorème de Fermat sur les triangles rectangles
	${\displaystyle (4,4,2)}$	1738	Leonhard Euler[8]
${\displaystyle (3,3,3)}$		1760		Aucune solution. Découle du dernier théorème de Fermat

Le théorème de Darmon-Granville[9] assure qu'il n'y a qu'un nombre fini de solutions à l'équation à ${\displaystyle (p,q,r)}$ fixé si ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}<1}$.

Alain Kraus donne des bornes supérieures explicites (dépendant de ${\displaystyle A,B,C}$) sur les nombres premiers ${\displaystyle n}$ tels que l'équation ${\displaystyle Ax^{n}+By^{n}+Cz^{n}=0}$ a des solutions primitives non triviales[10].

Dong Quan Ngoc Nguyen a montré en 2012, en utilisant l'obstruction de Brauer-Manin (en), que, pour tout ${\displaystyle n\geq 2}$, il existe une infinité de courbes de Fermat généralisées de signature ${\displaystyle (12n,12n,12n)}$ violant le principe de Hasse[11] ; c'est-à-dire qu'il existe une infinité de triplets ${\displaystyle (A,B,C)}$ tels que l'équation ${\displaystyle Ax^{12n}+By^{12n}+Cz^{12n}=0}$ a des solutions dans ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ pour tout nombre premier ${\displaystyle p}$ mais aucune solution dans ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Résultats partiels quand ${\displaystyle \min(p,q,r)=2}$

Quand ${\displaystyle (p,q,r)=(2,3,n){\text{ ou }}(3,n,2)}$, l'équation admet toujours la solution dite de Catalan ${\displaystyle 1^{n}+2^{3}=3^{2}}$. Celle-ci est systématiquement omise dans le tableau ci-dessous.

Cas traités quand ${\displaystyle \min(p,q,r)=2}$

${\displaystyle (p,q,r)=}$	sous-cas	date	auteurs	notes
${\displaystyle \{2,3,n\}}$	${\displaystyle n=7}$	2005	Bjorn Poonen, Edward Schaefer, Michael Stoll[12]	4 solutions non-Catalan ${\displaystyle 15312283^{2}+9262^{3}=113^{7}}$ ${\displaystyle 2213459^{2}+1414^{3}=65^{7}}$ ${\displaystyle 17^{3}+2^{7}=71^{2}}$ ${\displaystyle 76271^{3}+17^{7}=21063928^{2}}$
	${\displaystyle n=9}$	2003	Nils Bruin[13]	Une solution non-Catalan, ${\displaystyle 13^{2}+7^{3}=2^{9}}$
	${\displaystyle n=11}$	2017	Nuno Freitas, Bartosz Naskręcki, Michael Stoll[14][15]	Aucune solution non-Catalan
	${\displaystyle n=13}$			Partiellement résolu
	${\displaystyle n=15}$	2013	Samir Siksek, Michael Stoll[16]	Aucune solution non-Catalan
	${\displaystyle 3\mid n,{\frac {n}{3}}\equiv 1\mod 8{\text{ premier}}}$	2013	Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani[17]
${\displaystyle (2,3,8)}$		2003	Nils Bruin[18]	Une solution non-Catalan, ${\displaystyle 96222^{3}+43^{8}=30042907^{2}}$
${\displaystyle (2,3,10)}$		2009	David Brown[19]	Aucune solution
${\displaystyle (2,4,n),n\geq 5}$	${\displaystyle 5\leq n<211{\text{ premier}}}$	2008	Michael Bennett, Jordan Ellenberg, Nathan C. Ng[20]	2 solutions, ${\displaystyle 7^{2}+2^{5}=3^{4}}$ et ${\displaystyle 11^{4}+3^{5}=122^{2}}$
	${\displaystyle n\geq 211{\text{ premier}}}$	2003	Jordan Ellenberg[21]	Aucune solution
	${\displaystyle n=5,6}$ voir ci-dessous		Nils Bruin
${\displaystyle \{2,4,5\}}$		2003	Nils Bruin[13]
${\displaystyle \{2,4,6\}}$		1997	Nils Bruin[22]
${\displaystyle (2,6,n),n\geq 3}$		2011	Michael Bennett, Imin Chen[23]	Aucune solution
${\displaystyle (2,2n,3),3\leq n\leq 10^{7}}$	${\displaystyle n=3}$ voir ci-dessus
	${\displaystyle n=4}$			Une solution, ${\displaystyle 1549034^{2}+33^{8}=15613^{3}}$
	${\displaystyle n=31}$	2011	Sander Dahmen[24]	Aucune solution
	${\displaystyle n\equiv -1\mod 6}$
	${\displaystyle n\geq 8{\text{ pair}},{\frac {n}{2}}\equiv \pm 2\mod 5{\text{ ou }}{\frac {n}{2}}\equiv \pm 2,\pm 4\mod 13}$	2014	Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani[7]
	${\displaystyle 11\leq n<10^{7}{\text{ premier}},n\neq 31}$	2007	Imin Chen[25]	Aucune solution. Il suffit que ${\displaystyle n}$ respecte une condition simple, vérifiée numériquement pour les petites valeurs
${\displaystyle (2,2n,5)}$	${\displaystyle n\geq 29{\text{ premier}},n\equiv 1\mod 4}$	2010	Imin Chen[26]	Aucune solution
${\displaystyle (2,2n,9),n\geq 2}$		2014	Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani[7]
${\displaystyle (2,2n,10),n\geq 2}$
${\displaystyle (2,2n,15)}$
${\displaystyle (2,n,6),n\geq 3}$
${\displaystyle (4,2n,3),n\geq 2}$
${\displaystyle (6,n,2),n\geq 3}$				Aucune solution non-Catalan
${\displaystyle (n,n,2),n\geq 5}$	${\displaystyle n=6}$		Leonhard Euler	Aucune solution
	${\displaystyle n=5,9}$	1998	Bjorn Poonen[27]
	${\displaystyle n\geq 7{\text{ premier}}}$	1995	Henri Darmon, Loïc Merel[5]

Résultats partiels quand ${\displaystyle p,q,r\geq 3}$

${\displaystyle x=1}$ ou ${\displaystyle y=1}$ est impossible en vertu de la conjecture de Catalan, démontrée par Preda Mihăilescu en 2002. ${\displaystyle z=1}$ est impossible pour des raisons similaires. Les résultats partiels suivants sont pertinents pour l'établissement de la conjecture de Beal. Si elle est vraie, il n'y a aucune solution non triviale quand ${\displaystyle p,q,r\geq 3}$. L'inexistence de solutions n'est donc pas rappelée à chaque ligne.

Cas traités quand ${\displaystyle p,q,r\geq 3}$

${\displaystyle (p,q,r)=}$	sous-cas	date	auteurs	notes
${\displaystyle (n,n,n),n\geq 4}$	${\displaystyle n=5}$	1825	Dirichlet
		1994	Andrew Wiles	C'est le dernier théorème de Fermat
${\displaystyle (n,n,3),n\geq 4}$	${\displaystyle n=4}$	1873	Édouard Lucas[28],[7][N 1]
	${\displaystyle n=5}$	1998	Bjorn Poonen[27]
	${\displaystyle n\geq 7}$	1995	Henri Darmon, Loïc Merel[5]
${\displaystyle \{3,3,n\},4\leq n<10^{9}}$	${\displaystyle n=4,5}$	2000	Nils Bruin[29]
	${\displaystyle n=7,11,13}$			Partiellement résolu
	${\displaystyle 17\leq n<10^{4}{\text{ premier}}}$	1998	Alain Kraus[30]	Il suffit que ${\displaystyle n}$ respecte une condition simple, vérifiée numériquement pour les petites valeurs
	${\displaystyle 10^{4}<n<10^{9}{\text{ premier}}}$	2008	Imin Chen, Samir Siksek[31]	Amélioration de la condition de Kraus et vérification numérique
	${\displaystyle n{\text{ premier}},n\equiv 2\mod 3}$	2016	Nuno Freitas[32]
	${\displaystyle n\geq 4{\text{ pair}}}$	2014	Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani[7]
	d'autres conditions de modulo
${\displaystyle (4,2n,3),n\geq 2}$
${\displaystyle (3,6,n),n\geq 3}$
${\displaystyle \{3,4,5\}}$		2011	Samir Siksek, Michael Stoll[33]
${\displaystyle (4,4,n)}$ voir sous-cas	${\displaystyle n\geq 17{\text{ premier}},n\not \equiv -1\mod 8}$	2003	Luis Dieulefait[34]
${\displaystyle (4,n,4)}$ voir sous-cas	${\displaystyle n\geq 11{\text{ premier}},n\equiv 1\mod 4}$	1993	Henri Darmon[35]
	${\displaystyle n\geq 11{\text{ premier}},z{\text{ pair}}}$
${\displaystyle \{5,5,n\}}$ voir sous-cas	${\displaystyle n=3}$	1998	Bjorn Poonen[27]
	${\displaystyle n\geq 7{\text{ premier}},z{\text{ pair}}}$	2007	Nicolas Billerey[36],[37]
	${\displaystyle n=7}$	2013	Sander Dahmen, Samir Siksek[38]
	${\displaystyle n=19}$
	${\displaystyle n=11}$			Preuve conditionnelle supposant l'hypothèse de Riemann généralisée
	${\displaystyle n=13}$
${\displaystyle \{7,7,11\}}$
${\displaystyle \{5,7,7\}}$
${\displaystyle (2l,2m,n)}$ voir sous-cas	${\displaystyle n=3,l\geq 2,m\equiv 3\mod 4}$	2014	Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani[7]
	${\displaystyle n=5,l=m\geq 2}$	2006	Michael Bennett[39]
	${\displaystyle n\in \{3,5,7,11\},l,m\geq 5{\text{ premiers}}}$	2015	Samuele Anni, Samir Siksek[40]
	${\displaystyle n=13,l,m\geq 5{\text{ premiers}},l,m\neq 7}$
	${\displaystyle n=13,l,m\geq 5{\text{ premiers}}}$	2018	Nicolas Billerey, Imin Chen, Lassina Dembélé, Luis Dieulefait, Nuno Freitas[41]
${\displaystyle (3l,3m,n),l,m\geq 2,n\geq 3}$		1998	Alain Kraus[30]	Kraus prouve que ${\displaystyle a^{3}+b^{3}=z^{n}\implies v_{2}(ab)=1}$. En prenant, ${\displaystyle (a,b,c)=(x^{l},y^{m},z)}$, on a le résultat

Cas général

Le cas ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle 3}$-smooth a été étudié par Lucas dans beaucoup de cas particuliers[28].

équation	sous-cas	date	auteurs	notes
${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2z^{2}}$		1877	Édouard Lucas[43]	Une infinité de solutions. Voir Cas sphérique.
${\displaystyle x^{2}+2y^{2}=3z^{2}}$
${\displaystyle x^{2}+3y^{6}=z^{n}}$	${\displaystyle n\geq 3}$	2018	Angelos Koutsianas[44]	Une solution, ${\displaystyle 47^{2}+3\cdot 2^{6}=7^{4}}$
${\displaystyle x^{3}+y^{5}=15^{6}z^{7}}$		2008	Sander Dahmen[45]	Aucune solution
${\displaystyle 16x^{2}+3y^{3}=z^{5}}$
${\displaystyle 16x^{2}+9y^{3}=z^{5}}$
${\displaystyle Ax^{3}+By^{3}=Cz^{3}}$	beaucoup de cas particuliers différents	1951	Ernst Selmer[46]
${\displaystyle Ax^{2}+y^{4}=z^{n}}$	${\displaystyle 24x^{4}+y^{4}=z^{4}}$	2016	Gustav Söderlund[47]	Preuve élémentaire, aucune solution
	${\displaystyle A=2,n=3}$			Preuve élémentaire, une solution, ${\displaystyle 2\cdot 5^{4}+3^{4}=11^{3}}$
	${\displaystyle A=2,n\geq 4}$	2008	Michael Bennett, Jordan Ellenberg, Nathan C. Ng[20]	Aucune solution
	${\displaystyle A=3,n\geq 137{\text{ premier}}}$	2006	Luis Dieulefait, Jorge Jiménez Urroz[48]
${\displaystyle x^{2}+3y^{6}=z^{n}}$	${\displaystyle n\geq 3}$	2018	Angelos Koutsianas[44]	Une solution, ${\displaystyle 47^{2}+3\cdot 2^{6}=7^{4}}$
${\displaystyle x^{4}+By^{n}=z^{4}}$	${\displaystyle B=2^{\alpha },n\geq 5{\text{ premier}},\alpha \geq 1}$	2006	Andrzej Dąbrowski[49]	Aucune solution
	${\displaystyle B=2^{\alpha }q^{\beta },n>\left({\sqrt {8q+8}}+1\right)^{2q-2}{\text{ premier}},q{\text{ pas de la forme }}2^{m}\pm 1{\text{ premier}},\beta \geq 1}$
${\displaystyle x^{r}+y^{r}=Cz^{p}}$	${\displaystyle r\geq 5,p\geq 3}$	2002	Alain Kraus[50]	Il n'existe qu'un nombre fini de ${\displaystyle C}$ donnant des solutions
${\displaystyle x^{4}+y^{4}=Cz^{n}}$	${\displaystyle C\in \{73,89,113\},n\geq 17{\text{ premier}}}$	2005	Luis Dieulefait[51]	Aucune solution
${\displaystyle x^{5}+y^{5}=Cz^{n}}$	${\displaystyle n\geq 7{\text{ premier}},C=2^{\alpha }\cdot 5^{\beta },2\leq \alpha \leq 4,0\leq \beta \leq 4}$	2007	Nicolas Billerey[36]	Aucune solution
	quelques autres cas particuliers quand ${\displaystyle C}$ est ${\displaystyle 5}$-smooth
	${\displaystyle n\geq 17{\text{ premier}},n\equiv 1\mod 4{\text{ ou }}n\equiv \pm 1\mod 5,C=2\gamma ,\forall q\equiv 1\mod 5{\text{ premier}},q\nmid \gamma }$	2011	Luis Dieulefait, Nuno Freitas[52][N 2]
	${\displaystyle n\geq 89{\text{ premier}},n\equiv 1\mod 4{\text{ ou }}n\equiv \pm 1\mod 5,C=3\gamma ,\forall q\equiv 1\mod 5{\text{ premier}},q\nmid \gamma }$
	${\displaystyle C\in \{1,2\},n{\text{ premier}},\mathrm {pgcd} (c,10n)>1}$	2017	Nicolas Billerey, Imin Chen, Luis Dieulefait, Nuno Freitas[53]	Une solution, ${\displaystyle 1^{5}+1^{5}=2\cdot 1^{n}}$
	${\displaystyle C=3,n\geq 2}$			Aucune solution
${\displaystyle x^{7}+y^{7}=Cz^{n}}$	${\displaystyle n>(3^{18}+1)^{2}{\text{ premier}}}$	2012	Nuno Freitas[54]	Aucune solution
${\displaystyle x^{14}+y^{14}=Cz^{n}}$	${\displaystyle n\geq 17{\text{ premier}},C=2^{\alpha _{2}}3^{\alpha _{3}}5^{\alpha _{5}}\gamma ,\alpha _{2}\geq 1{\text{ ou }}\alpha _{3}\geq 1{\text{ ou }}\alpha _{5}\geq 2,7\nmid \gamma ,\forall q\equiv 1\mod 7{\text{ premier}},q\nmid \gamma }$			Aucune solution
${\displaystyle x^{13}+y^{13}=Cz^{n}}$	${\displaystyle C=3,n\geq 2}$	2018	Nicolas Billerey, Imin Chen, Lassina Dembélé, Luis Dieulefait, Nuno Freitas[41]	Aucune solution
	${\displaystyle n{\text{ premier}},n\notin \{2,3,5,7,11,13,19,23,29,71\},C=d\gamma ,d\in \{3,5,7,11\},13\nmid z,\forall q\equiv 1\mod 13{\text{ premier}},q\nmid \gamma }$	2013	Nuno Freitas, Samir Siksek[55]	Aucune solution
${\displaystyle x^{26}+y^{26}=Cz^{n}}$	${\displaystyle n{\text{ premier}},n\notin \{2,3,5,7,11,13,19,23,29,71\},C=10\gamma ,\forall q\equiv 1\mod 13{\text{ premier}},q\nmid \gamma }$
${\displaystyle x^{n}+2^{\alpha }y^{n}=Cz^{2}}$	${\displaystyle n\geq 7{\text{ premier}},C=1,2\leq \alpha \leq p-2}$	2000	Wilfrid Ivorra[56]	2 solutions, ${\displaystyle 1^{n}+2^{3}\cdot 1^{n}=3^{2}}$, ${\displaystyle 2^{n}+2^{n-3}\cdot 1^{n}=\left(3\cdot 2^{\frac {n-3}{2}}\right)^{2}}$
	${\displaystyle n\geq 5{\text{ premier}},C=2,\alpha \leq p-1}$			Une solution, ${\displaystyle 1^{n}+2^{0}\cdot 1^{n}=2\cdot 1^{n}}$
	${\displaystyle n\geq 7{\text{ premier}},n\geq C,\alpha \geq \alpha _{0},(C,\alpha _{0})\in \{(1,2),(3,2),(5,6),(7,4),(13,2),(15,6),(17,6)\}}$	2002	Michael Bennett, Chris M. Skinner[57]	Aucune solution
	${\displaystyle n\geq 11{\text{ premier}},\alpha \geq 2,(\alpha ,n)\neq (3,13)}$
${\displaystyle x^{n}+y^{n}=Cz^{2}}$	${\displaystyle C\in \{1,2,3,5,6,10,11,13\},n\geq 4}$			3 solutions, ${\displaystyle 1^{2}+1^{2}=2\cdot 1^{2}}$, ${\displaystyle 3^{5}+(-1)^{5}=2\cdot 11^{2}}$, ${\displaystyle 3^{5}+2^{5}=11\cdot 5^{2}}$
	${\displaystyle C=17,n\geq 5}$			Aucune solution
	${\displaystyle C=2^{\alpha }M,n>M^{132M^{2}}{\text{ premier}},\alpha \geq 1,M{\text{ quadratfrei }},3\nmid M,7\nmid M}$	2009	Andrzej Dąbrowski[37]
${\displaystyle x^{n}+y^{n}=p^{\alpha }z^{3}}$	${\displaystyle n,p{\text{ premiers}},n>p^{4p^{2}}}$	2000	Michael Bennett, Vinayak Vatsal, Soroosh Yazdani[58]	Aucune solution
${\displaystyle x^{n}+p^{\alpha }y^{n}=3^{\beta }z^{3}}$	${\displaystyle n,p{\text{ premiers}},\beta =0,p\neq 5{\text{ pas de la forme }}s^{3}\pm 3^{t},t\neq 1}$
	${\displaystyle n,p{\text{ premiers}},n>p^{2p},\beta =0,p{\text{ pas de la forme }}s^{3}\pm 3^{t},t\neq 1}$
	${\displaystyle n,p{\text{ premiers}},\alpha ,\beta \geq 1,p\neq 5{\text{ pas des formes }}3s^{2}\pm 1,9s^{2}\pm 1}$
${\displaystyle x^{n}+L^{\alpha }y^{n}+z^{n}=0}$	${\displaystyle L\in \{3,5,7,11,13,17,19,23,29,53,59\},\alpha \geq 1,n\geq 11{\text{ premier}},n\neq L}$	1996	Alain Kraus[59]	Aucune solution
	${\displaystyle L=2,3\leq n\leq 29{\text{ premier}}}$		Pierre Dénes	Une solution, ${\displaystyle 1^{n}+2\cdot (-1)^{n}+1^{n}=0}$
	${\displaystyle L=2,n\geq 17{\text{ premier}},n\equiv 1\mod 4}$	1995	Kenneth Ribet[60]
	${\displaystyle L=2,n\equiv 3\mod 4{\text{ premier}}}$			Partiellement résolu
${\displaystyle Ax^{n}+By^{n}=Cz^{n}}$	${\displaystyle A,B,C{\text{ impairs et premiers entre eux}}}$	2002	Emmanuel Halberstadt, Alain Kraus[61]	Il existe un ensemble de nombres premiers ${\displaystyle P}$ de densité strictement positive tel qu'il n'y a aucune solution pour tout ${\displaystyle n\in P}$.

La conjecture de Beal est fausse si on l'étend aux entiers de Gauss. Après qu'un prix de 50 $ ait été mis en jeu pour une preuve ou un contre-exemple, Fred W. Helenius proposa ${\displaystyle (-2+i)^{3}+(-2-i)^{3}=(1+i)^{4}}$[62].

Le dernier théorème de Fermat tient toujours dans certains anneaux. On dit que le dernier théorème de Fermat asymptotique est vrai dans le corps ${\displaystyle K}$ (ou dans son anneau des entiers ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$, c'est équivalent) si

Il existe une constante ${\displaystyle B_{K}}$ telle que, pour tout ${\displaystyle n\geq B_{K}}$ premier (dans ${\displaystyle \mathbb {Z} }$), l'équation ${\displaystyle a^{n}+b^{n}+c^{n}=0}$ n'a pas de solution avec ${\displaystyle a,b,c\in K\setminus \{0\}}$.

Ci-dessous, deux solutions ${\displaystyle (x,y,z),(x',y',z')}$ sont dites équivalentes s'il existe ${\displaystyle \lambda \in K}$ tel que ${\displaystyle (x',y',z')=(\lambda x,\lambda y,\lambda z)}$ :

équation	corps ${\displaystyle K}$	sous-cas	date	auteurs	résultats/notes
${\displaystyle x^{n}+y^{n}+z^{n}=0}$	${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$	${\displaystyle d>0}$	2013	Nuno Freitas, Samir Siksek[63]	FLT asymptotique établi pour un ensemble de ${\displaystyle d}$ de densité ${\displaystyle {\frac {5}{6}}}$ parmi les entiers quadratfrei. (améliorable à une densité de ${\displaystyle 1}$ en supposant une généralisation de la conjecture d'Eichler-Shimura)
		${\displaystyle d<0,d\equiv 2,3\mod 4}$	2016	Mehmet Şengün, Samir Siksek[64]	FLT asymptotique établi en supposant une variante de la conjecture de modularité de Serre (en) (voir Programme de Langlands)
		${\displaystyle n=3}$		Paulo Ribenboim	S'il existe une solution non triviale, il en existe une infinité (non équivalentes entre elles)
				Alexander Aigner	Toute solution est équivalente à une solution de la forme ${\displaystyle (a+b{\sqrt {d}})^{3}+(a-b{\sqrt {d}})^{3}=c^{3}}$
				Alexander Aigner, Fueter	Il y a des solutions non triviales dans ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ si et seulement si il y en a dans ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-3d}})}$
	${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}$		2003	Frazer Jarvis, Paul Meekin[65]	Aucune solution
	${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$				Il existe une infinité de solutions générées par la solution ${\displaystyle (18+17{\sqrt {2}})^{3}+(18-17{\sqrt {2}})^{3}=42^{3}}$
		${\displaystyle n\geq 4}$			Aucune solution
	${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})}$				Pour tout ${\displaystyle n}$ entier non divisible par ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 2^{n}+(-1+{\sqrt {-3}})^{n}+(-1-{\sqrt {-3}})^{n}=0}$(cela correspond à ${\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0}$ où ${\displaystyle \omega }$ est racine primitive troisième de l'unité)[66]
${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$	${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$	${\displaystyle n=5,7,11}$	1978	Benedict Gross, David Rohrlich[67]	Aucune solution
	${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-2}})}$
	${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-7}})}$
	${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$	${\displaystyle n=13}$	2004	Pavlos Tzermias[68]
	${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-2}})}$
	${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-7}})}$
	${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$	${\displaystyle n=17}$	1982	Fred Hao, Charles Parry[69]
	${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-2}})}$
	${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$	${\displaystyle n=3{\text{ ou }}n\geq 19{\text{ premier}}}$	2017	George Ţurcaş[66]	Aucune solution en supposant une variante de la conjecture de modularité de Serre (en) (voir Programme de Langlands)
	${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-2}})}$	${\displaystyle n\geq 19{\text{ premier}}}$
	${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-7}})}$	${\displaystyle n\geq 17{\text{ premier}}}$
	${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {17}})}$	${\displaystyle n\geq 5{\text{ premier}},n\equiv 3,5\mod 8,}$	2015	Nuno Freitas, Samir Siksek[70]	Aucune solution
	${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$	${\displaystyle 3\leq d\leq 23,d\neq 5,17{\text{ et quadratfrei}},n\geq 4}$
		${\displaystyle d<0,n=4,6,9}$	1934	Alexander Aigner[71],[72]	Aucune solution sauf si ${\displaystyle (n,d)=(4,-7)}$ : ${\displaystyle (1+{\sqrt {-7}})^{4}+(1-{\sqrt {-7}})^{4}=2^{4}}$
${\displaystyle x^{n}+y^{n}+q^{r}z^{n}=0}$		${\displaystyle d\geq 13{\text{ quadratfrei}},q\geq 29{\text{ premier}},\left({\frac {d}{q}}\right)=-1,d\equiv q\equiv 5\mod 8}$	2015	Heline Deconinck[73]	${\displaystyle B_{K}}$ existe en supposant que ${\displaystyle K}$ respecte la conjecture d'Eichler-Shimura