Combinaison (mathématiques)

En mathématiques, lorsqu'on choisit k objets parmi n objets discernables (numérotés de 1 à n) et que l’ordre dans lequel les objets sont placés (ou énumérés) n’a pas d’importance, on peut les représenter par un ensemble à k éléments. Les combinaisons servent donc, entre autres, en combinatoire. Un exemple est la main qu'on obtient en tirant simultanément k cartes dans un jeu de n cartes ; ou au jeu du loto, le tirage final (qui ne dépend pas de l’ordre d’apparition des boules obtenues).

Définition

Soit E un ensemble fini de cardinal n et k un entier naturel. Les combinaisons de cet ensemble sont ses sous-ensembles (ou ses parties).

Une k-combinaison de E (ou k-combinaison sans répétition de E, ou encore combinaison sans répétition de n éléments pris k à k) est une partie à k éléments de E.

On note[1]^,[2] ${\mathcal {P}}_{k}(E)$ l’ensemble des k-combinaisons de E.

Nombre de combinaisons

L’ensemble ${\mathcal {P}}_{k}(E)$ est fini et son cardinal est le coefficient binomial ${n \choose k}$ , aussi noté $C_{n}^{k}$ . On a[note 1] :

C_{n}^{k}={n \choose k}={\frac {A_{n}^{k}}{k!}}

,

où $A_{n}^{k}$ est le nombre de k-arrangements de E et k! est la factorielle de k.

Avec la formule pour $A_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}$ , on obtient ${n \choose k}={\frac {n(n-1)\ldots (n-k+1)}{k!}}$ , qui pour $k \leq n$ peut aussi s'écrire :

{n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}

.

Calcul du nombre de combinaisons

Un algorithme efficace[note 2] pour calculer le nombre ${\binom {n}{k}}$ de combinaisons de k éléments parmi n, utilise les identités suivantes (0 ≤ k ≤ n) :

${\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}$ , ${\binom {n+1}{k+1}}={\frac {n+1}{k+1}}{\binom {n}{k}}$ et ${\binom {n}{0}}=1$ .

La première permet de réduire le nombre d'opérations à effectuer en se ramenant à k ≤ n/2. Les deux suivantes permettent de montrer que :

${\binom {n}{k}}={\frac {(n-k+1)}{1}}\cdot {\frac {(n-k+2)}{2}}\cdot \cdots \cdot {\frac {n}{k}}$

À chaque étape de calcul on effectue d'abord la multiplication puis la division pour obtenir un nombre entier (c'est un coefficient binomial), c'est-à-dire que l'on peut employer la division entière. Les calculs intermédiaires restent d'un ordre de grandeur voisin du résultat final (ce ne serait pas le cas si par exemple on utilisait la première formule et la fonction factorielle).

Le calcul peut s'effectuer par une simple boucle itérative (boucle for).

Exemple: ${\binom {10}{7}}=?\quad 10-7=3<7,\quad {\binom {7}{0}}=1\Rightarrow {\binom {8}{1}}={\frac {8}{1}}\times 1=8\Rightarrow {\binom {9}{2}}={\frac {9}{2}}\times 8=36\Rightarrow {\binom {10}{3}}={\frac {10}{3}}\times 36=120\Rightarrow {\binom {10}{7}}=120.$

Pour de grandes valeurs de n et de k, il est souvent plus pratique d'utiliser les formules approchées suivantes (on en trouvera les justifications et d'autres plus détaillées dans l'article coefficient binomial) :

${n \choose k}\sim n^{k}/k!$ (pour k fixé et n tendant vers l'infini) et (si $n$ et $k$ tendent vers l'infini avec $k/n\rightarrow \alpha \in ]0;1[$ ) ${\binom {n}{k}}{\sim }{\frac {1}{\sqrt {2\pi \alpha (1-\alpha )n}}}\left({\frac {1}{\alpha ^{\alpha }(1-\alpha )^{1-\alpha }}}\right)^{n}$ .

Énumération des combinaisons

Soient A un ensemble à n éléments, $a$ un objet qui n'est pas dans A, et k un entier naturel. Alors pour former les parties de $A\cup \{a\}$ ayant k + 1 éléments, on forme les parties de k + 1 éléments de A, ainsi que les parties de k éléments de A auxquelles on adjoint {a}. Autrement dit :

${\mathcal {P}}_{k+1}(A\cup \{a\})={\mathcal {P}}_{k+1}(A)\cup \left\{X\cup \{a\}\mid X\in {\mathcal {P}}_{k}(A)\right\}$ ( ${\mathcal {P}}_{k}(A)=\varnothing$ si k > n)

(cette identité a pour conséquence directe la formule de récurrence permettant de construire le triangle de Pascal : ${\tbinom {n+1}{k+1}}={\tbinom {n}{k+1}}+{\tbinom {n}{k}}$ ). Cette identité peut être exploitée pour un algorithme énumérant les combinaisons, par exemple des n premiers entiers.

Exemples

Soit A l'ensemble de 5 éléments A = {a, b, c , d, e}.

Les combinaisons de 2 éléments parmi les 5 sont :
- celles qui contiennent deux éléments distincts de a : {b, c}, {b, d}, {b, e}, {c, d}, {c, e}, {d, e},
- celles qui contiennent a et un autre élément : {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e},
  soit ${5 \choose 2}={4 \choose 2}+{4 \choose 1}=6+4=10.$
Les combinaisons de 3 éléments choisis parmi les 5 éléments de A sont :
- celles qui contiennent a et deux autres éléments : {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e},
- celles qui contiennent trois éléments distincts de a : {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e},
  soit ${5 \choose 3}={4 \choose 2}+{4 \choose 3}=6+4=10.$ .
  Ce sont en fait les complémentaires des combinaisons précédentes.

Notes et références

Notes

Une démonstration est disponible via le lien (voir infra) vers Wikiversité Combinaisons sans répétition.
C'est par exemple celui utilisé par la bibliothèque de programmes de calcul arithmétique en précision arbitraire GMP, voir (en) Binomial coefficients algorithm.

Références

Louis Comtet, Analyse combinatoire élémentaire, p. 2.
Hervé Gianella, Romain Krust, Frank Taieb et Nicolas Tosel, Problèmes choisis de mathématiques supérieures, p. 120.

Voir aussi

Combinaison avec répétition

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[3] Une démonstration est disponible via le lien (voir infra) vers Wikiversité Combinaisons sans répétition.

[4] C'est par exemple celui utilisé par la bibliothèque de programmes de calcul arithmétique en précision arbitraire GMP, voir (en) Binomial coefficients algorithm.

[1] Louis Comtet, Analyse combinatoire élémentaire, p. 2.

[2] Hervé Gianella, Romain Krust, Frank Taieb et Nicolas Tosel, Problèmes choisis de mathématiques supérieures, p. 120.