Cohésion des grains de sable

Il s'agit ici de calculer la pression dans le pont capillaire et de comparer la force d'attraction au poids. Après calcul, on trouve que la force d'attraction est dix fois plus importante que le poids et permet donc de tenir les grains de sable entre eux.

Notations utilisées dans l'article.

Les notations utilisées sont celles de la figure ci-contre. Soient ${\displaystyle \theta }$ l’angle que fait le liquide avec le grain de sable, ${\displaystyle \alpha }$ l’angle d’ouverture du ménisque et ${\displaystyle \delta }$ la hauteur du ménisque. La pression dans le pont capillaire ${\displaystyle \Delta P}$ est fonction de la quantité de liquide, donc des quantités ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle \delta }$.

La figure ci-contre montre que ${\displaystyle \alpha =\beta }$. Par ailleurs, ${\displaystyle r={\frac {\delta }{\sin \alpha }}={\frac {\delta }{\sin \beta }}}$. Il suffit donc de lier l'angle ${\displaystyle \beta }$ aux deux distances ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle \delta }$ pour avoir une expression de la pression dans le liquide ${\displaystyle \Delta P=-{\frac {\gamma }{r}}}$. Soit ${\displaystyle \rho (z)}$, l'équation du grain de sable. ${\displaystyle \tan \beta }$ est la pente de cette droite au point ${\displaystyle (a,\delta )}$ soit ${\displaystyle \tan \beta =\rho '(z)}$. Dans le cadre d'une approximation parabolique, ${\displaystyle z}$ s'écrit ${\displaystyle z=\alpha \rho ^{2}+\beta }$ d'où ${\displaystyle \rho (z)=a{\sqrt {\frac {z}{\delta }}}}$. Et, finalement, ${\displaystyle \tan \beta =\rho '(z=a)={\frac {a}{2\delta }}}$ ${\displaystyle \Delta P=-{\frac {\gamma \sin \beta }{\delta }}}$

La force d’adhésion entre les grains est due pression ${\displaystyle \Delta P}$ qui s'applique sur la surface ${\displaystyle \pi a^{2}}$ soit ${\displaystyle F={\frac {\gamma }{\delta }}\sin \beta \pi a^{2}}$.

Un grain de sable a un rayon typique de ${\displaystyle \simeq 300\mu }$m ce qui donne, en ordre de grandeur, ${\displaystyle \delta \simeq 10\mu }$m, ${\displaystyle a\simeq 50\mu }$m.

Alors ${\displaystyle F=5,5.10^{-5}N}$

Si cette force est supérieure au poids d'un grain de sable, elle est suffisante pour assurer l'adhésion des grains. Soit ${\displaystyle V}$ le volume d'un grain de sable et ${\displaystyle \mu }$ la densité du sable, le poids d'un grain de sable est ${\displaystyle P=\mu Vg\simeq 2.10^{-6}}$N (en prenant une densité de 2 pour le sable).

La force capillaire est donc de l'ordre de dix fois le poids et la présence de l'eau empêche bien les grains de sable de se décoller.

Pour fabriquer un tour de sable, il faut environ un litre de sable (un seau). Chaque grain est au contact de quelques autres (typiquement 5) par l'intermédiaire d'un pont capillaire. Le volume d'eau nécessaire peut être calculé en multipliant le volume d'un pont capillaire par le nombre total de contacts entre grains dans le château.

Le volume de liquide est le volume du cylindre de rayon ${\displaystyle a}$ moins le volume du grain de sable sur la hauteur ${\displaystyle \delta }$ soit ${\displaystyle V_{liq}=\pi a^{2}\delta -\int _{0}^{\delta }\pi \rho ^{2}dz=\pi a^{2}\delta -{\frac {\pi }{2}}a^{2}\delta }$ soit ${\displaystyle V_{liq}={\frac {\pi }{2}}a^{2}\delta }$

Pour qu'un litre de sable soit rendu cohésif, il faut que ce volume d'eau ${\displaystyle V_{liq}}$ soit présent entre chacun grain de sable. Si l'on considère qu'il y a environ ${\displaystyle n_{contact}\simeq 5}$ contacts entre deux grains de sable, et que la compacité ${\displaystyle c}$ est de 60 % (ce qui est proche de l'empilement compact), on obtient :

${\displaystyle V_{total}=n_{grains}n_{contact}V_{liq}={\frac {cV_{sable}}{{\frac {4}{3}}\pi r^{3}}}n_{contact}V_{liq}\simeq 10^{-3}}$ L.

Donc, ${\displaystyle 1}$ ml d'eau devrait être suffisant pour rendre cohésif un château de sable. Cela nécessite de mélanger parfaitement le sable et le liquide.