Code de Goppa

Posons ${\displaystyle C}$ une courbe algébrique projective non-singulière irréductible. Fixons ${\displaystyle n}$ points rationnels de ${\displaystyle C}$:

${\displaystyle P_{1},P_{2},...,P_{n}}$

et soit ${\displaystyle D}$, un diviseur de ${\displaystyle C}$, sur ${\displaystyle F}$, dont le support ne contient aucun des ${\displaystyle P_{i}}$.

Il existe un sous-espace vectoriel de dimension finie ${\displaystyle L(D)}$ du corps de fonctions de ${\displaystyle C}$, qui est constitué des fonctions rationnelles ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle C}$ avec des zéros et pôles sujets à ${\displaystyle D}$. Autrement dit, ${\displaystyle D}$ qui est une somme formelle de points de ${\displaystyle C}$ sur la clôture algébrique de ${\displaystyle F}$, donne une borne inférieure pour l'ordre des zéros et une borne supérieure pour l'ordre des pôles de ${\displaystyle f}$.

Alors, pour une base fixe:

${\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{k}~}$

pour ${\displaystyle L(D)}$ sur ${\displaystyle F}$, le code de Goppa correspondant dans ${\displaystyle F}$ est généré sur ${\displaystyle F}$ par les vecteurs

${\displaystyle f_{i}(P_{1}),f_{i}(P_{2}),...,f_{i}(P_{n})~}$

De façon équivalente, on peut définir le code de Goppa comme l'ensemble de tous les vecteurs

${\displaystyle f(P_{1}),f(P_{2}),...,f(P_{n})~}$

où ${\displaystyle f}$ est dans ${\displaystyle L(D)}$.

Les codes de Goppa ont fait une apparition marginale en cryptographie dans le cryptosystème de McEliece.

Généralement, les codes de Goppa sont considérés comme de « bons » codes linéaires puisqu'ils permettent de corriger jusqu'à ${\displaystyle {n^{k}} \choose {\log _{2}n}}$ erreurs. Aussi, ils se décodent efficacement, par les algorithmes d'Euclide et de Berlekamp-Massey, en particulier.