Cercle de Tücker

Il existe trois façons équivalents de construire un cercle de Tücker.

Par homothétie

Dans une homothétie de centre L, le point de Lemoine, de rapport k (différent de 1 et de 0), le triangle ABC a pour image A’B’C’. En prolongeant les côtés, les côtés du triangle A’B’C’ rencontrent ceux de ABC en six points.

Ces points sont cocycliques et forment un hexagone de Lemoine.

Par construction des antiparallèles

On considère un point M du côté AB, différent de A et B. En traçant l'antiparallèle à BC par rapport à (AB) et (AC) (soit la droite passant par M et parallèle à la tangente au cercle circonscrit de ABC en A), cette droite intersecte AC en un point N. La parallèle à AB passant par N intersecte AC en un point P. En continuant le processus, ou en traçant directement le cercle passant par M, N et P, on construit les trois points Q, R et S qui complètent l'hexagone de Lemoine.

En effet, un raisonnement sur les antiparallélismes permet de vérifier que PQ est antiparallèle de AC par rapport à (BA,BC)

Par construction de trois antiparallèles de longueur égale

Les droites (MN), (PQ) et (RS) sont antiparallèles aux côtés du triangle et les segments qu'elles déterminent sont de même longueur.

Cette propriété peut être prise comme définition en déterminant trois segments [MN], [PQ], [RS] de longueur égale et parallèles aux tangentes en A, B, C au cercle circonscrit.

En revenant de la construction par homothétie du cercle de Tücker pour la définition des points U, V, W. On définit les points U₁, U₂ et U₃, intersections des droites (PQ), (RS) et (MN). Ils sont situés sur les symédianes. Le triangle U₁U₂U₃ est le triangle tangentiel de UVW, et est homothétique du triangle tangentiel T₁T₂T₃ de ABC dans l'homothétie de centre L.

Les milieux forment un triangle UVW se déduisant de ABC dans une homothétie de centre L de rapport k. Dans cette homothétie, le point O a pour image Ω avec LΩ/LO = |k|. Ce point Ω est le centre du cercle circonscrit à UVW. La droite (UΩ) parallèle à (OA) est perpendiculaire à (MN), c'est la médiatrice de [MN]. De même (VΩ) est la médiatrice de [PQ]. Ω est bien le centre du cercle (T).

Un cercle de Tücker est caractérisé par son centre Ω situé sur (OL), distinct de O et de L.

Les milieux des côtés de l'hexagone de Lemoine intérieurs au triangle sont situés sur les symédianes et forment un triangle UVW homothétique de ABC dans une homothétie de centre L.

Les côtés de l'hexagone de Lemoine intérieurs au triangle sont antiparallèles aux côtés du triangle et les segments qu'elles déterminent sont de même longueur.

Le centre du cercle de Tücker est le milieu du segment formé par les centres des cercles circonscrits aux triangles ABC et A’B’C’.

En notant le rapport d'homothétie

${\displaystyle k={\frac {L\Omega }{LO}}={\frac {LU}{LA}}={\frac {LV}{LC}}={\frac {LW}{LB}}}$

le rayon du cercle de Tücker vaut

${\displaystyle R_{T}=R{\sqrt {k^{2}+(1-k)^{2}\tan ^{2}\omega }}}$

où R est le rayon du cercle circonscrit à ABC et ω son angle de Brocard.

Cas particuliers

On peut en déduire ainsi plusieurs cas particuliers de cercle de Tücker :

• son cercle d'Apollonius (le cercle tangent intérieurement aux trois cercles exinscrits à ABC, pour λ = s(s² - r²)/abc, avec r le rayon du cercle inscrit de ABC et s son demi-périmètre)
• son cercle circonscrit (pour λ = 1)
• ses deux cercles de Lemoine (pour λ = 1/2 et λ = 0, respectivement)
• son cercle de Taylor (pour ${\displaystyle \lambda =-\cos {\hat {A}}\cos {\hat {B}}\cos {\hat {C}}}$)
• ses cercles de Gallatly et de Kenmotu

• Yvonne et René Sortais, La géométrie du triangle, Hermann 1997 (ISBN 978-2-7056-1429-4)
• Cercles de Tücker dans Quadrature n^o 63, janvier-Mars 2007 [PDF]

• Géométrie du triangle,
• (en) Eric W. Weisstein, « Tucker circles », sur MathWorld.

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