Catégorie fermée

En mathématiques, et plus spécifiquement en théorie des catégories, une catégorie fermée (ou close) est une catégorie d'un type particulier. Elles ont été introduites en 1965 par Samuel Eilenberg et Max Kelly[1], formalisant et clarifiant des efforts antérieurs de Mac Lane[2], Bénabou[3], Kelly[4] et Linton[5].

En général, les morphismes d'une catégorie $C$ qui relient deux objets $x$ et $y$ forment seulement un ensemble, noté $\operatorname {Hom} _{C}(x,y)$ . Il peut donc s'agir d'un objet « extérieur » à la catégorie. Une catégorie est fermée lorsqu'il existe un foncteur $\operatorname {Hom}$ « interne », c'est-à-dire qui peut lui-même être considéré comme un objet de la catégorie en question.

L'adjectif fermé apparaît ailleurs en théorie des catégories, notamment dans les catégories cartésiennes fermées, avec un sens a priori différent.

Définition

Une catégorie $C$ est dite fermée lorsqu'elle peut être dotée des éléments suivants[1] :

Un foncteur Hom interne, c'est-à-dire un foncteur $[-,=]:C^{\text{op}}\times C\to C$ . Comme évoqué en introduction, ce foncteur joue le rôle du foncteur Hom classique.
Un objet unité $I$ et un isomorphisme naturel $i:\mathrm {id} _{C}\simeq [I,-]$ . On transporte ainsi les identités au sens du foncteur Hom classique vers les identités au sens du foncteur Hom interne.

On ajoute à cela trois prérequis supplémentaires[Note 1]^,[6] :

Il existe une transformation $j_{x}:I\Rightarrow [x,x]$ qui est transformation extranaturelle (en) en $x$ .
Il existe une transformation $L_{yz}^{x}:[y,z]\to [[x,y],[x,z]]$ qui est naturel en $y,z$ et extranaturelle en $x$ . Celle-ci correspond à une loi de composition. Lorsqu'une notion de produit interne est déjà disponible, par exemple dans une catégorie monoïdale, on peut s'appuyer sur ce produit plutôt qu'introduire la transformation $L_{yz}^{x}$ [7].
Il y a une bijection $[x,y]\simeq [I,[x,y]]$ donnée par $f\mapsto [1,f](j_{x})$ .

Exemples

La catégorie des ensembles est fermée ; en effet, les axiomes sont construits de sorte à suivre au plus près la situation de cette catégorie. Le foncteur Hom interne coïncide avec le foncteur Hom habituel, qui est un ensemble.
Plus généralement, tout topos est fermé, et en particulier une catégorie cartésienne fermée est fermée[Note 2].
De nombreuses catégories fermées s'obtiennent en partant d'une catégorie monoïdale. Ainsi par exemple la catégorie des groupes abéliens et celle des espaces vectoriels sont fermées (le foncteur Hom interne étant le produit tensoriel).
De même, la catégorie des catégories est fermée, son foncteur Hom interne étant donné par la catégorie des foncteurs.
La catégorie des 2-catégories (strictes) est également fermée, le foncteur Hom interne étant donné par le produit de Gray[8]. De même les $\omega$ -catégories (strictes) forment une catégorie fermée pour le produit de Crans-Gray[9].
La catégorie simpliciale est fermée. D'une manière générale toute catégorie compacte fermée est également fermée[Note 3].

Notes et références

Notes

Cette définition, bien qu'en apparence plus générale, plus simple, et différente de celle initialement proposée par Eilenberg et Kelly, lui est équivalente. Voir (Manziuk 2012) pour une preuve et discussion.
Il y a ici deux sens différents au terme « fermé ».
Ici encore, les deux sens de « fermé » sont a priori différents.

Références

(en) Samuel Eilenberg et G. Max Kelly, « Closed categories », Proceedings of the Conference on Categorical Algebra,‎ 1965, p. 421-562 (lire en ligne)
(en-US) Saunders MacLane, « Categorical algebra », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 71, n^o 1,‎ 1965, p. 40–106 (ISSN 0002-9904 et 1936-881X, DOI 10.1090/S0002-9904-1965-11234-4, lire en ligne, consulté le 29 novembre 2018)
Jean Bénabou, Catégories relatives. C. R. Acad. Sci. Paris 260 3824–3827, (1965)
(en) G. Max Kelly, « Tensor products in categories », Journal of Algebra, vol. 2, n^o 1,‎ mars 1965, p. 15–37 (ISSN 0021-8693, DOI 10.1016/0021-8693(65)90022-0, lire en ligne, consulté le 29 novembre 2018)
(en) F. E. J. Linton, « Autonomous categories and duality of functors », Journal of Algebra, vol. 2, n^o 3,‎ septembre 1965, p. 315–349 (ISSN 0021-8693, DOI 10.1016/0021-8693(65)90013-x, lire en ligne, consulté le 29 novembre 2018)
(en) O. Manzyuk, Closed categories vs closed multicategories, Theory and Applications of Categories, Vol. 26, No. 5, 2012, pp. 132–175. pdf
(en-US) Miguel L. Laplaza, « Embedding of closed categories into monoidal closed categories », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 233,‎ 1977, p. 85–91 (ISSN 0002-9947 et 1088-6850, DOI 10.1090/S0002-9947-1977-0480686-8, lire en ligne, consulté le 29 novembre 2018)
(en-GB) John W. Gray, « Formal Category Theory: Adjointness for 2-Categories », Lecture Notes in Mathematics,‎ 1974 (ISSN 0075-8434 et 1617-9692, DOI 10.1007/bfb0061280, lire en ligne, consulté le 29 novembre 2018)
(en) Richard Steiner, « Omega-categories and chain complexes », Homology, Homotopy and Applications, vol. 6, n^o 1,‎ 2004, p. 175–200 (ISSN 1532-0073 et 1532-0081, DOI 10.4310/hha.2004.v6.n1.a12, lire en ligne, consulté le 29 novembre 2018)

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[6] Cette définition, bien qu'en apparence plus générale, plus simple, et différente de celle initialement proposée par Eilenberg et Kelly, lui est équivalente. Voir (Manziuk 2012) pour une preuve et discussion.

[9] Il y a ici deux sens différents au terme « fermé ».

[12] Ici encore, les deux sens de « fermé » sont a priori différents.

[:0-1] (en) Samuel Eilenberg et G. Max Kelly, « Closed categories », Proceedings of the Conference on Categorical Algebra,‎ 1965, p. 421-562 (lire en ligne)

[2] (en-US) Saunders MacLane, « Categorical algebra », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 71, n^o 1,‎ 1965, p. 40–106 (ISSN 0002-9904 et 1936-881X, DOI 10.1090/S0002-9904-1965-11234-4, lire en ligne, consulté le 29 novembre 2018)

[3] Jean Bénabou, Catégories relatives. C. R. Acad. Sci. Paris 260 3824–3827, (1965)

[4] (en) G. Max Kelly, « Tensor products in categories », Journal of Algebra, vol. 2, n^o 1,‎ mars 1965, p. 15–37 (ISSN 0021-8693, DOI 10.1016/0021-8693(65)90022-0, lire en ligne, consulté le 29 novembre 2018)

[5] (en) F. E. J. Linton, « Autonomous categories and duality of functors », Journal of Algebra, vol. 2, n^o 3,‎ septembre 1965, p. 315–349 (ISSN 0021-8693, DOI 10.1016/0021-8693(65)90013-x, lire en ligne, consulté le 29 novembre 2018)

[7] (en) O. Manzyuk, Closed categories vs closed multicategories, Theory and Applications of Categories, Vol. 26, No. 5, 2012, pp. 132–175. pdf

[8] (en-US) Miguel L. Laplaza, « Embedding of closed categories into monoidal closed categories », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 233,‎ 1977, p. 85–91 (ISSN 0002-9947 et 1088-6850, DOI 10.1090/S0002-9947-1977-0480686-8, lire en ligne, consulté le 29 novembre 2018)

[10] (en-GB) John W. Gray, « Formal Category Theory: Adjointness for 2-Categories », Lecture Notes in Mathematics,‎ 1974 (ISSN 0075-8434 et 1617-9692, DOI 10.1007/bfb0061280, lire en ligne, consulté le 29 novembre 2018)

[11] (en) Richard Steiner, « Omega-categories and chain complexes », Homology, Homotopy and Applications, vol. 6, n^o 1,‎ 2004, p. 175–200 (ISSN 1532-0073 et 1532-0081, DOI 10.4310/hha.2004.v6.n1.a12, lire en ligne, consulté le 29 novembre 2018)