Calcul différentiel

En mathématiques, le calcul différentiel est un sous-domaine du calcul qui étudie les taux auxquels les quantités changent[1]. C'est l'une des deux divisions traditionnelles du calcul, l'autre étant le calcul intégral - l'étude de l'aire sous une courbe[2].

Les principaux objets d'étude en calcul différentiel sont la dérivée d'une fonction, des notions connexes telles que le différentiel et leurs applications. La dérivée d'une fonction à une valeur d'entrée choisie décrit le taux de changement de la fonction près de cette valeur d'entrée. Le processus de recherche d'un dérivé s'appelle la différenciation. Géométriquement, la dérivée en un point est la pente de la ligne tangente au graphique de la fonction en ce point, à condition que la dérivée existe et soit définie à ce point. Pour une fonction à valeur réelle d'une seule variable réelle, la dérivée d'une fonction en un point détermine généralement la meilleure approximation linéaire de la fonction en ce point.

Le calcul différentiel et le calcul intégral sont reliés par le théorème fondamental du calcul, qui stipule que la différenciation est le processus inverse de l'intégration.

La différenciation a des applications dans presque toutes les disciplines quantitatives. En physique, la dérivée du déplacement d'un corps en mouvement par rapport au temps est la vitesse du corps et la dérivée de la vitesse par rapport au temps est l'accélération. La dérivée de l'élan d'un corps par rapport au temps est égale à la force appliquée au corps; réarranger cette déclaration dérivés conduit à la célèbre F = ma équation associée à la deuxième loi du mouvement de Newton. La vitesse de réaction d'une réaction chimique est un dérivé. Dans la recherche opérationnelle, les dérivés déterminent les moyens les plus efficaces de transporter des matériaux et de concevoir des usines.

Les dérivés sont fréquemment utilisés pour trouver les maxima et minima d'une fonction. Les équations impliquant des dérivées sont appelées équations différentielles et sont fondamentales pour décrire les phénomènes naturels . Les dérivés et leurs généralisations apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques, tels que l'analyse complexe, l'analyse fonctionnelle, la géométrie différentielle, la théorie des mesures et l'algèbre abstraite.