Calcul de la date de Pâques selon la méthode de Conway

La méthode canonique de calcul de la date de Pâques grégorienne est extrêmement complexe. De nombreux mathématiciens, à partir du XVIII^e siècle et à la suite de Gauss tentèrent de mettre au point des méthodes plus simples. Ces recherches se sont poursuivies jusqu'aux années 1980. Parmi les méthodes récentes, l'intérêt principal de l'algorithme de Conway est d'introduire une présentation nouvelle du calcul de la date de Pâques grégorienne à l'aide du concept de "Jour-pivot" :

Il existe chaque année une série de dates mensuelles qui tombent toutes le même jour de la semaine. Cette série de dates est constante pour les dix derniers mois de l'année et varie pour janvier et février selon que l'année est ou non bissextile. Pour les années normales, cette série de dates est : (31/01, 28/02, 7/03, 4/04, 9/05, 6/06, 11/07, 8/08, 5/09, 10/10, 7/11, 12/12) et pour les années bissextiles, le 31/01 devient le 1/02 et le 28/02 devient le 29/02[Note 1]. De plus les jours-pivot séculaires suivent un cycle de 400 ans. Conway utilise ces propriétés pour déterminer la Lune pascale et le dimanche de Pâques.

La méthode n'est toutefois pas aussi originale qu'il y paraît : en réalité, les jours-pivots se déduisent facilement de la lettre dominicale par la relation :

JP = (3 - L) mod 7

avec JP : jour-pivot ; L : Lettre dominicale (A, ..., G) avec

A = 1 ; B = 2 ; ... ; G = 0.

Les contrôles effectués par ordinateur prouvent que la méthode, dans la présentation qui en est donnée ci-dessous, est exacte et donne les mêmes résultats que l'algorithme de Meeus pour un cycle de 5 700 000 ans à partir de 1583.

Cet article présente de façon détaillée de calcul de la date de Pâques selon la méthode de Conway pour le calendrier grégorien. Cette description est rédigée sous forme algorithmique, n'utilisant que des opérations arithmétiques élémentaires[Note 2] et sans référence à quelque langage de programmation que ce soit. L'utilisateur qui désire programmer cet algorithme devra rechercher les instructions appropriées dans le langage qu'il utilise[Note 3]. Le calcul de cet algorithme ne nécessite nulle programmation compliquée : l'usage d'un simple tableur est suffisant. Quoique cette méthode de calcul aient fait l'objet de vérifications minutieuses, elle est, en tout état de cause, fournie en l'état : il appartient à l'utilisateur de s'assurer de son exactitude et de son adéquation à ses usages.

Calcul de la date de Pâques grégoriennes en calendrier grégorien

L'algorithme de Conway présenté ici a été rédigé, reformaté et vérifié selon les indications de ce site et quelques améliorations de présentation pour le calcul des jours pivots séculaires (trois premières lignes de l'algorithme) et les conditions sur l'épacte (trois dernières lignes).

Pour Année ≥ 1583[1] :

Date de Pâques grégorienne (Algorithme de Conway)
Dividende	Diviseur	Quotient	Reste	Expression	Explication
Année	100	s	t		s : année séculaire, t : millésime
t	4	a			Terme bissextil
s	4		p
9 - 2*p	7		jps		jour-pivot séculaire [Note 4].
jps + t + a	7		jp		jour-pivot de l'année courante
Année	19		g
				G = g + 1	Cycle de Méton
s	4	b			Métemptose
8 (s + 11)	25	r			Proemptose
				C = -s + b + r	Correction séculaire
11 G + C	30		d
d + 30	30		d		Pleine Lune pascale[Note 5].
551 - 19 d + G	544	h			Correction des exceptions à l'épacte[Note 6].
50 - d - h	7		e		Écart de la Pleine Lune pascale au Jour-pivot
e + jp	7		f		Jour de la Pleine Lune pascale
				R = 57 - d - f - h	Dimanche de Pâques

R est la date de Pâques en jours de mars

Si R ≤ 31 alors

Mois = mars

Quantième = R

sinon

Mois = avril

Quantième = R - 31

Exemple

Exemple pour l'année 2006

Date des Pâques grégoriennes pour 2006 ( Algorithme de Conway)
Dividende	Valeur Dividende	Diviseur	Valeur Diviseur	Quotient	Valeur Quotient	Reste	Valeur Reste	Expression	Valeur Expression
Année	2006	100	100	s	20	t	6
t	6	4	4	a	1
s	20	4	4			p	0
9 - 2*p	9	7	7			jps	2
jps + a + t	9	7	7			jp	2
Année	2006	19	19			g	11
								G = g + 1	12
s	20	4	4	b	5
8 (s + 11)	248	25	25	r	9
								C = -s + b + r	-6
11 G + C	126	30	30			d	6
d + 30	36	30	30			d	6
551 - 19 d + G	449	544	544	h	0
50 - d - h	44	7	7			e	2
e + jp	4	7	7			f	4
								R = 57- d - f - h	47

Puisque R > 31 :

Mois = avril

Quantième = R - 31 = 16

Pâques est le 16 avril 2006

Notes et références

Notes

Pour plus de détails, voir l'article Calcul de la date de Pâques
Voir la section Mise en œuvre informatique de la division euclidienne
Attention : les fonctions intégrées des langages de programmation pour l'arithmétique entière ne donnent pas toujours les résultats escomptés. Il faut être très vigilant à ce sujet. Voir à ce propos la section Mise en œuvre informatique de la division euclidienne.
Les lignes de calcul précédentes permettent le calcul du Jour-pivot séculaire sans recourir à une table, comme le font la plupart des sources, ce qui simplifie la programmation de l'algorithme.
Cette seconde ligne de calcul de la variable d assure que celle-ci est positive même si le dividende "11 G + C" est négatif. Cette ligne n'est pas rigoureusement nécessaire si l'on respecte scrupuleusement la définition de la division euclidienne lorsque le dividende est négatif. Elle a été ajoutée à titre de sécurité en cas de programmation maladroite.
Les exceptions aux épactes 24, 25 et XXV sont habituellement traitées dans les sources sous forme d'instructions conditionnelles. On la traite ici sous forme du calcul d'une variable h, valant 0 ou 1, à ajouter à l'épacte, qui assure la même correction que les instructions conditionnelles. Ce mode de traitement facilite la programmation de l'algorithme.

Références

L'algorithme de Conway présenté ici a été rédigé, reformaté et vérifié selon les indications de ce site et quelques améliorations de présentation pour le calcul des jours pivots séculaires (trois premières lignes de l'algorithme) et les conditions sur l'épacte (trois dernières lignes).

Articles connexes

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[1] Pour plus de détails, voir l'article Calcul de la date de Pâques

[2] Voir la section Mise en œuvre informatique de la division euclidienne

[3] Attention : les fonctions intégrées des langages de programmation pour l'arithmétique entière ne donnent pas toujours les résultats escomptés. Il faut être très vigilant à ce sujet. Voir à ce propos la section Mise en œuvre informatique de la division euclidienne.

[5] Les lignes de calcul précédentes permettent le calcul du Jour-pivot séculaire sans recourir à une table, comme le font la plupart des sources, ce qui simplifie la programmation de l'algorithme.

[6] Cette seconde ligne de calcul de la variable d assure que celle-ci est positive même si le dividende "11 G + C" est négatif. Cette ligne n'est pas rigoureusement nécessaire si l'on respecte scrupuleusement la définition de la division euclidienne lorsque le dividende est négatif. Elle a été ajoutée à titre de sécurité en cas de programmation maladroite.

[7] Les exceptions aux épactes 24, 25 et XXV sont habituellement traitées dans les sources sous forme d'instructions conditionnelles. On la traite ici sous forme du calcul d'une variable h, valant 0 ou 1, à ajouter à l'épacte, qui assure la même correction que les instructions conditionnelles. Ce mode de traitement facilite la programmation de l'algorithme.

[4] L'algorithme de Conway présenté ici a été rédigé, reformaté et vérifié selon les indications de ce site et quelques améliorations de présentation pour le calcul des jours pivots séculaires (trois premières lignes de l'algorithme) et les conditions sur l'épacte (trois dernières lignes).