Atmosphère isotherme

L'équation de l'équilibre hydrostatique dans l'air donne :

${\displaystyle \nabla p+\rho \mathbf {g} =\mathbf {0} }$

Où g est l'accélération gravitationnelle et ${\displaystyle \scriptstyle \rho }$ est la densité de l'air.

Avec un champ de pesanteur uniforme, l'équation devient :

${\displaystyle {\frac {dp}{dz}}+\rho g=0}$

Or, la loi des gaz parfaits avec M la masse molaire de l'air et R la constante des gaz parfaits donne :

${\displaystyle \rho ={\frac {pM}{RT_{0}}}}$

Cette transformation permet de réécrire l'équation différentielle ainsi :

${\displaystyle {\frac {dp}{dz}}+{\frac {p}{H_{0}}}=0}$ avec ${\displaystyle H_{0}={\frac {RT_{0}}{Mg}}}$

qui donne comme solution : ${\displaystyle p_{final}=p_{0}e^{\frac {-z}{H_{0}}}}$

Où p₀ est la pression initiale

Il apparaît dans l'équation une constante d'échelle de hauteur caractéristique d'une atmosphère qui serait totalement isotherme, soit :

${\displaystyle H_{0}={\frac {RT_{0}}{Mg}}}$

L'application numérique donne un H₀ égal à 8 km. À 24 km pour une température de 0 °C de l'atmosphère, la pression ne serait plus que 5 % de celle en surface, soit beaucoup moins que la réalité. Cela montre les limites de ce modèle.

En réalité, le dioxygène, plus lourd, a une hauteur d'échelle différente de celle du diazote, l'air n'est pas un gaz parfait, l'accélération gravitationnelle g n'est pas une constante avec l'altitude, et surtout, en règle générale dans la troposphère l'air se refroidit avec l'altitude.

Ce modèle prévoit correctement que la pression varie peu sur de faibles hauteurs dans des gaz qui ont de faibles masses volumiques. Elle permet ainsi de calculer la différence de pression d'une couche isotherme de l'atmosphère terrestres allant de z_i à z_f avec :

${\displaystyle p_{final}=p_{0}e^{-(\Delta z)/H_{0}}}$

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