Annuité constante

Le calcul d'une annuité constante versée par l'emprunteur chaque année ou chaque période s'exprime par la formule :

${\displaystyle A=E\times {i \over 1-(1+i)^{-n}}}$

avec :

• ${\displaystyle A}$ est la valeur de l'annuité
• ${\displaystyle E}$ est la valeur du capital emprunté ou emprunt,
• ${\displaystyle i}$ est le taux d'intérêt
• n est le nombre de périodes
• a est le taux d'annuité constante.

${\displaystyle a={\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}}$

Pour un prêt à annuité constante de 160 000 sur 5 ans à un taux de 1.2 % :

Comparaison avec un prêt à remboursement constant où les intérêts sont un peu plus faibles :

Chaque année l'emprunteur doit verser une même somme appelée l'annuité constante égale à E x a si E est le montant de l'emprunt et a le taux d'annuité constante. Cette somme est composée d'une part des intérêts et d'autre part du remboursement du capital. Les intérêts vont en s'amenuisant chaque année puisqu'ils sont calculés sur ce qui reste à rembourser multiplié par i. Donc les remboursements de l'emprunt vont à l'inverse en augmentant chaque année et le calcul de la deuxième année montre que le facteur est de 1+i :

La 1° année les intérêts sont de : ${\displaystyle E\times i}$

et donc le remboursement est de : ${\displaystyle E(a-i)}$

Les intérêts la 2° année sont de : ${\displaystyle E{\bigl (}1-(a-i){\bigr )}\times i=E{\bigl (}i-i(a-i){\bigr )}}$

et donc le remboursement est de : ${\displaystyle E{\bigl (}a-i+i(a-i){\bigr )}=E(a-i)(1+i)}$

Si on suppose que le remboursement augmente de ce même facteur chaque année alors la formule du remboursement R_n à l'année n est :

${\displaystyle R_{n}=E(a-i)(1+i)^{n-1}}$

Pour être sûr que c'est toujours le même facteur quelle que soit l'année cela nécessite une démonstration par récurrence écrite plus bas. Ainsi on voit apparaître une suite géométrique dont les termes sont les remboursements successifs d'emprunt. Donc en fait si R₁ soit E (a-i) est le remboursement de la première année et si R_n est celui de la dernière année alors la somme R₁ + R₂ + ... + R_n est égale à E le montant de l'emprunt. Après il suffit d'appliquer la formule de la somme d'une suite géométrique de raison r égale à 1+i et de premier terme égal à E (a-i) pour résoudre l'équation et retrouver la formule du taux d'annuité constante.

On peut faire la démonstration rapide pour le calcul de la somme de cette suite géométrique.

Si S_n est la somme des n termes alors on a :

${\displaystyle S_{n}=E(a-i)+E(a-i)(1+i)+{\cdots +E(a-i)(1+i)^{n-1}}}$

En multipliant tous les termes par 1+i on a :

${\displaystyle S_{n}(1+i)=E(a-i)(1+i)+{\cdots }+E(a-i)(1+i)^{n-1}+E(a-i)(1+i)^{n}}$

En soustrayant ces deux suites tous les termes s'annulent sauf le premier et le dernier :

${\displaystyle S_{n}(1+i-1)=E(a-i)(1+i)^{n}-E(a-i)}$

${\displaystyle S_{n}\times i=E(a-i){\bigl (}(1+i)^{n}-1{\bigr )}}$

${\displaystyle S_{n}=E(a-i)\times {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}}$

${\displaystyle E{\bigl (}a-i{\bigr )}\times {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}=E}$

${\displaystyle a-i={\frac {i}{(1+i)^{n}-1}}}$

${\displaystyle a={\frac {i+i(1+i)^{n}-i}{(1+i)^{n}-1}}}$

${\displaystyle a={i(1+i)^{n} \over (1+i)^{n}-1}}$

${\displaystyle a={\frac {i(1+i)^{n}(1+i)^{-n}}{{\bigl (}(1+i)^{n}-1{\bigr )}(1+i)^{-n}}}}$

${\displaystyle a={\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}}$

La progression géométrique est une suite de nombres (ou termes) dont la raison r est constante, n étant le nombre de termes de la suite. Chaque terme est égal au terme précédent multiplié par r.

La somme de cette suite se calcule par la formule ${\displaystyle {\frac {r^{n}-1}{r-1}}}$multipliée par le premier terme de la suite. La démonstration générale se trouve sur la page suite géométrique.

Si on considère que la formule des remboursements est vraie au rang p, est-ce qu'elle l'est toujours au rang p+1 ?

Au rang p le remboursement est : ${\displaystyle R_{p}=E(a-i)(1+i)^{p-1}}$

et la somme de tout ce qui a été remboursé est donc égale à : ${\displaystyle E(a-i)\times {\frac {(1+i)^{p}-1}{i}}}$

Au rang p+1 les intérêts seront de :

${\displaystyle E{\biggl (}1-{\frac {(a-i){\bigl (}(1+i)^{p}-1{\bigr )}}{i}}{\biggr )}\times i=E{\Bigl (}i-(a-i){\bigl (}(1+i)^{p}-1{\bigr )}{\Bigr )}}$

et donc le remboursement du capital emprunté sera de E x a moins cette somme soit :

${\displaystyle R_{p+1}=E{\Bigl (}a-i+(a-i){\bigl (}(1+i)^{p}-1{\bigr )}{\Bigr )}}$

${\displaystyle R_{p+1}=E(a-i){\bigl (}1+(1+i)^{p}-1{\bigr )}}$

${\displaystyle R_{p+1}=E(a-i)(1+i)^{p}}$

Donc on a bien quelle que soit l'année n :

${\displaystyle R_{n}=E(a-i)(1+i)^{n-1}}$

Il existe une autre formule concernant les remboursements successifs :

${\displaystyle R_{1}=E{\bigl (}a-i{\bigr )}={\frac {A}{(1+i)^{n}}}}$

${\displaystyle R_{2}=E{\bigl (}a-i{\bigr )}{\bigl (}1+i{\bigr )}={\frac {A}{{\bigl (}1+i{\bigr )}^{n-1}}}}$

...

${\displaystyle R_{n}=E{\bigl (}a-i{\bigr )}{\bigl (}1+i{\bigr )}^{n-1}={\frac {A}{1+i}}}$

Pour démontrer cette deuxième formule des remboursements on part de la dernière année où le remboursement R_n est égal à ce qui reste à rembourser donc on a :

${\displaystyle A=R_{n}+R_{n}\times i=R_{n}{\bigl (}1+i{\bigr )}}$

et donc ${\displaystyle R_{n}={\frac {A}{1+i}}}$

On vérifie aussi qu'en remplaçant a par la formule du taux d'annuité constante on obtient bien le même résultat pour le remboursement de la première année :

${\displaystyle R_{1}={\frac {E\times i}{(1+i)^{n}-1}}}$

Function PVannuity( i as double, n as double, Optional m as double = 0, _
                  Optional  k as Integer =1, Optional Terme as String= "immediate" )
'i      Effective interest rate expressed in decimal form. E.g. 0,03 means 3%.  
'n      Years for payments.
'm      Deferring Years, whose default value is zero.
'k      Yearly payments frequency. A payment of k − 1 is supposed to be performed at
'         the end of each year.
'Terme  A string, either "immediate" (terme échue), "continuous" or "due" (à échoir).
 
 i_k=(1+i)^(1/k)-1 'effective rate for one period
 n_k=n*k 'number of periods for payements
 m_k=m*k 'deferring periods
    v_k = 1 / (1 + i_k) 'present value rate
    d = i_k / (1 + i_k) 'discount rate for one period
    
if Terme = "immediate" then PVannuity = (1-v_k ^ n_k)/i_k/k
if Terme = "due" then       PVannuity = (1-_kv ^ n_k)/d/k
                            PVannuity = v_k^m_k*PVannuity

'k is not used in continous case
    delta= log(1+i)     ' continuous rate
    v = 1 / (1 + i)
if Terme = "continuous" then PVannuity = v^m *  (1-v ^ n)/delta

'MsgBox "Valeur présente d'un paiement annuel de 1, fractionné en " & k & _
'  " versements par an (à terme de type : " & Terme & "), d'une durée " & n & _
'   " ans, différée de " & m & "années, au taux " & format(i,"0.00%") & " = " & PVannuity

End Function

A l'inverse des annuités constantes d'amortissement d'emprunt il existe les annuités de placement pour les épargnants par exemple qui versent à intervalle régulier une même somme d'argent pour constituer à l'échéance un capital plus important avec des intérêts composés.

Là aussi on obtient une suite géométrique. Si A est le montant de l'annuité, la valeur acquise du dernier ou n-ième versement sera de A (1+i). Celle de l'avant-dernier sera de A (1+i)². Et ainsi de suite jusqu'au premier qui aura une valeur de A (1+i)ⁿ. Le capital à l'échéance sera donc la somme de tous ces termes et la formule des suites géométriques donne la réponse, A(1+i) étant le premier terme et 1+i la raison :

${\displaystyle C=A(1+i)\times {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}}$

Si C_o est le capital initial, i le taux d'intérêt, n le nombre d'années, I le montant à échéance des intérêts et C_n le montant du capital à l'échéance, le calcul d'un intérêt simple au bout des n années s'exprime par la formule :

${\displaystyle I={C_{0}}\times {i}\times {n}}$

exemple : ${\displaystyle C_{0}}$ = 30 000, ${\displaystyle i}$ = 0,7 %, ${\displaystyle n}$ = 10

Alors : ${\displaystyle I}$ = 30 000 x 0,007 x 10 = 2 100

Le calcul de la valeur acquise s'exprime par la formule :${\displaystyle C_{n}=C_{0}+(C_{0}\times i\times n)=C_{0}(1+i\times n)}$

${\displaystyle C_{n}}$ = 30 000 (1 + 0,007 x 10) = 32 100

Pour un intérêt composé l'intérêt vient se greffer au capital majoré des intérêts passés :

${\displaystyle C_{n}={C_{0}}\times {(1+i)}\times {(1+i)}\times {(1+i)}\times {(1+i)}\times ...\times {(1+i)}}$ (n fois)

ou encore :

${\displaystyle C_{n}={C_{0}}\times {(1+i)}^{n}}$

Avec les mêmes données que l'exemple précédent on obtient :

${\displaystyle C_{n}}$= 30 000 x 1,007¹⁰ = 32 167,40

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