Algorithme de Buchberger

L'algorithme de Buchberger est un algorithme permettant de calculer une base de Gröbner pour un idéal polynomial à partir d'un ensemble générateur de l'idéal et d'un ordre sur les monômes. Il a été publié par le mathématicien autrichien Bruno Buchberger en 1976[1].

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En pseudo-code, il peut être décrit comme suit[2] :

Entrées : un système de polynômes ${\displaystyle F=(f_{1},...,f_{s})}$; 
          un ordre monomial 
Sortie : une base de Gröbner de ${\displaystyle \langle f_{1},...,f_{s}\rangle }$

${\displaystyle G\leftarrow F}$
Répéter
     ${\displaystyle G'\leftarrow G}$
     Pour chaque paire ${\displaystyle \{p,q\}}$ dans ${\displaystyle G'}$:
        ${\displaystyle m\leftarrow lcm(LM(p),LM(q))}$
        
        ${\displaystyle S\leftarrow LC(p){\frac {m}{LM(p)}}p-LC(q){\frac {m}{LM(q)}}q}$ 
        
        ${\displaystyle r\leftarrow }$ reste de ${\displaystyle S}$ par ${\displaystyle G'}$
        Si ${\displaystyle r}$ est différent de 0 alors ${\displaystyle G\leftarrow G\cup \{r\}}$
Jusqu'à ce que ${\displaystyle G=G'}$
Renvoyer ${\displaystyle G}$

Le polynôme ${\displaystyle S}$ dans l'algorithme est appelé ${\displaystyle S}$-polynôme de ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$, parfois noté ${\displaystyle S(p,q)}$.