Algorithme d'Abramov

Le concept principal de l'algorithme d'Abramov est la notion de dénominateur universel. Soit ${\displaystyle \mathbb {K} }$ être un corps de caractéristique zéro. La dispersion ${\displaystyle \operatorname {dis} (p,q)}$ de deux polynômes ${\displaystyle p,q\in \mathbb {K} [n]}$ est par définition

${\displaystyle \operatorname {dis} (p,q)=\max\{k\in \mathbb {N} \,:\,\deg(\operatorname {pgcd} (p(n),q(n+k)))\geq 1\}\cup \{-1\}}$,

où ${\displaystyle \mathbb {N} }$ désigne l'ensemble des entiers non négatifs. Ainsi, la dispersion est le plus grand entier ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ tel que le polynôme ${\displaystyle p}$ et le polynôme ${\displaystyle q}$ décalé de ${\displaystyle k}$ ont un facteur commun. La dispersion est égale à ${\displaystyle -1}$ si un tel ${\displaystyle k}$ n'existe pas. La dispersion peut être calculée comme la plus grande racine entière non négative du résultant${\displaystyle \operatorname {res} _{n}(p(n),q(n+k))\in \mathbb {K} [k]}$[3]^,[4].

Soit

${\displaystyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n)\,y(n+k)=f(n)}$

une relation de récurrence d'ordre ${\displaystyle r}$ à coefficients polynomiaux ${\displaystyle p_{k}\in \mathbb {K} [n]}$, avec ${\displaystyle f\in \mathbb {K} [n]}$ et soit ${\displaystyle y(n)\in \mathbb {K} (n)}$ une solution rationnelle. On pose ${\displaystyle y(n)=p(n)/q(n)}$ pour deux polynômes relativement premiers ${\displaystyle p,q\in \mathbb {K} [n]}$. Soit ${\displaystyle D=\operatorname {dis} (p_{r}(n-r),p_{0}(n))}$ et

${\displaystyle u(n)=\operatorname {pgcd} ([p_{0}(n+D)]^{\underline {D+1}},[p_{r}(n-r)]^{\underline {D+1}})}$

où

${\displaystyle [p(n)]^{\underline {k}}=p(n)p(n-1)\cdots p(n-k+1)}$

désigne la factorielle décroissante d'une fonction. Alors ${\displaystyle q(n)}$ divise ${\displaystyle u(n)}$ . Par conséquent, le polynôme ${\displaystyle u(n)}$ peut être utilisé comme dénominateur pour toutes les solutions rationnelles ${\displaystyle y(n)}$ et c'est pourquoi on l'appelle un dénominateur universel[5].

Soit à nouveau

${\textstyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n)\,y(n+k)=f(n)}$

une équation de récurrence à coefficients polynomiaux et soit ${\textstyle u(n)}$ un dénominateur universel. On pose ${\textstyle y(n)=z(n)/u(n)}$ pour un polynôme inconnu ${\textstyle z(n)\in \mathbb {K} [n]}$ ; en notant

${\textstyle \ell (n)=\operatorname {ppcm} (u(n),\dots ,u(n+r))}$

l'équation de récurrence équivaut à

${\displaystyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n){\frac {z(n+k)}{u(n+k)}}\ell (n)=f(n)\ell (n)}$.

Comme on peut simplifier par ${\textstyle u(n+k)}$, on obtient une équation de récurrence linéaire avec des coefficients polynomiaux qui peut être résolue pour ${\textstyle z(n)}$. Il existe des algorithmes pour trouver des solutions polynomiales. Les solutions pour ${\textstyle z(n)}$ peuvent ensuite être utilisées à nouveau pour calculer les solutions rationnelles ${\textstyle y(n)=z(n)/u(n)}$[2].

algorithm rational_solutions is
    input: Linear recurrence equation ${\textstyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n)\,y(n+k)=f(n),p_{k},f\in \mathbb {K} [n],p_{0},p_{r}\neq 0}$.
    output: The general rational solution ${\textstyle y}$ if there are any solutions, otherwise false.

    ${\textstyle D=\operatorname {disp} (p_{r}(n-r),p_{0}(n))}$
    ${\textstyle u(n)=\operatorname {pgcd} ([p_{0}(n+D)]^{\underline {D+1}},[p_{r}(n-r)]^{\underline {D+1}})}$
    ${\textstyle \ell (n)=\operatorname {ppcm} (u(n),\dots ,u(n+r))}$
    Solve ${\textstyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n){\frac {z(n+k)}{u(n+k)}}\ell (n)=f(n)\ell (n)}$ for general polynomial solution ${\textstyle z(n)}$
    if solution ${\textstyle z(n)}$ exists then
        return general solution ${\textstyle y(n)=z(n)/u(n)}$
    else
        return false
    end if

L'équation de récurrence homogène d'ordre ${\textstyle 1}$

${\displaystyle (n-1)\,y(n)+(-n-1)\,y(n+1)=0}$

sur ${\textstyle \mathbb {Q} }$ a une solution rationnelle. Elle peut être calculée en considérant la dispersion

${\displaystyle D=\operatorname {dis} (p_{1}(n-1),p_{0}(n))=\operatorname {disp} (-n,n-1)=1}$.

Cela donne le dénominateur universel suivant:

${\displaystyle u(n)=\operatorname {pgcd} ([p_{0}(n+1)]^{\underline {2}},[p_{r}(n-1)]^{\underline {2}})=(n-1)n}$

et

${\displaystyle \ell (n)=\operatorname {ppcm} (u(n),u(n+1))=(n-1)n(n+1)}$.

En multipliant l'équation de récurrence d'origine par ${\textstyle \ell (n)}$ et en posant ${\textstyle y(n)=z(n)/u(n)}$ on obtient :

${\displaystyle (n-1)(n+1)\,z(n)+(-n-1)(n-1)\,z(n+1)=0}$.

Cette équation a la solution polynomiale

${\textstyle z(n)=c}$

pour une constante arbitraire ${\textstyle c\in \mathbb {Q} }$. En posant ${\textstyle y(n)=z(n)/u(n)}$ la solution rationnelle générale est

${\displaystyle y(n)={\frac {c}{(n-1)n}}}$

pour un ${\textstyle c\in \mathbb {Q} }$ quelconque.

• Suite définie par récurrence

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