Algèbre de Hopf quasi triangulaire

En mathématiques, une algèbre de Hopf ${\displaystyle H}$ est dite quasi triangulaire s'il existe un élément inversible ${\displaystyle R\in H\otimes H}$ qui vérifie :

• ${\displaystyle \forall x\in H,\ \Delta ^{op}(x)=R\Delta (x)R^{-1}}$
• ${\displaystyle (1\otimes \Delta )(R)=R_{13}R_{12}}$
• ${\displaystyle (\Delta \otimes 1)(R)=R_{13}R_{23}}$

où :

• ${\displaystyle \Delta }$ est le coproduit de ${\displaystyle H}$
• Si ${\displaystyle \Delta (x)=\sum x_{i}^{(1)}\otimes x_{i}^{(2)}}$, alors ${\displaystyle \Delta ^{op}(x)=\sum x_{i}^{(2)}\otimes x_{i}^{(1)}}$
• Si ${\displaystyle R=\sum a_{i}\otimes b_{i}}$, alors
  • ${\displaystyle R_{12}=\sum a_{i}\otimes b_{i}\otimes 1}$
  • ${\displaystyle R_{13}=\sum a_{i}\otimes 1\otimes b_{i}}$
  • ${\displaystyle R_{23}=\sum 1\otimes a_{i}\otimes b_{i}}$