Équation normale

Dans un plan affine euclidien, l'équation d'une droite affine ${\displaystyle ax+by+c=0}$ est dite normale si ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$. Les coefficients ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont alors les cosinus directeurs de la normale (N) à la droite passant par l'origine, c'est-à-dire que ${\displaystyle a}$ peut s'écrire ${\displaystyle \cos \alpha }$ où α est l'angle entre l'axe ${\displaystyle x}$ et la normale, et que ${\displaystyle b}$ peut s'écrire ${\displaystyle \cos \beta }$ où β est l'angle entre l'axe ${\displaystyle y}$ et la normale.

En deux dimensions (plan affine), β = π/2 - α donc ${\displaystyle \cos \beta =\sin \alpha }$ et ${\displaystyle \sin \beta =\cos \alpha }$, donc effectivement ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta =1}$, mais lorsqu'on monte dans les dimensions supérieures, il n'existe plus de relations triviale entre les cosinus directeurs, sinon que la somme de leurs carrés doit être égale à 1.

Une droite du plan admet exactement deux équations normales, qui correspondent aux deux choix possibles de vecteur normal normé.

L'avantage de l'équation normale est que si M est un point de coordonnées ${\displaystyle (x,y)}$, la distance du point M à la droite est égale à ${\displaystyle |{ax+by+c}|}$.

• Dans un espace affine euclidien de dimension 3, une équation de plan affine ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$ est dite normale si ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1}$.
• Un plan de l'espace admet exactement deux équations normales qui correspondent aux deux choix possibles de vecteur normal normé.
• L'avantage de l'équation normale est que si M est un point de coordonnées ${\displaystyle (x,y,z)}$, la distance du point M au plan est égale à ${\displaystyle |{ax+by+cz+d}|}$.
• On peut généraliser à un hyperplan.